Page 684 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

如果 f 是连续的函数, 那我们怎样划分以及怎样选择 c 就显得无
j

关紧要了, 只要它的最大区间趋于 0. 事实上, 只要函数 f 是有界

的, 即使它有有限个不连续的点, 这也是成立的. 这样的函数是可

积的, 因为它可被积分. 也有一些函数, 即使它有无穷多个不连续

的点, 也是可积的, 但这已经超出了本书的讨论范围. 另一方面, 如

果函数 f 是无界的, 也可能是可积的, 比如它有垂直渐近线, 这种

积分叫作反常积分, 参见第 20 章和第 21 章对这个问题的讲解.

在积分表达式中出现的求和 , 我们称之为黎曼

和. 它给出了定积分的估算值. 如果它的最大区间非常小, 那么这

时估算将是非常精确的.

看到了吧, 我说过这很复杂的! 现在, 我们看看怎样用这个定义计算定

积分.

一个使用定义的例子

我们来看如何用上述公式计算定积分

我们看图 16-7.