Page 723 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

16.6 积分的平均值和中值定理

最后我们讨论平均速度的问题. 是的, 在单位时间内, 我们可以说速率

的值等于路程, 也可以说速度的值等于位移. 但这段陈述成立的前提是

速度为常数; 否则, 就像在 5.2.3 节讲述的那样, 需要引入平均速度.

我们已经了解, 使用微分可以在已知某时间段位移的前提下求即时速

度. 使用积分, 可以在已知某时间段即时速度的前提下求位移. 当然, 在

已知某时间段即时速度的前提下, 也可以求出平均速度. 你所需要做的

是求出位移, 然后用这个值除以总时间. 如果时间是从 a 到 b, 在时刻 t

的速度是 v(t), 那么我们有

位移 .

因为总的时间为 b - a, 所以有

总的来说, 我们可以在区间 [a, b] 内, 将可积函数 f 的平均值定义为：