Page 727 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

求证, 在任何一段旅途中, 至少会有这样一个时刻, 其即时速度等于该

段路程的平均速度. 至少会有一个这样的时刻, 不可能一个都没有. 假

设你在第一小时的速度为 45 英里/小时, 在第二小时的速度为 55 英

里/小时, 该段路程的平均速度为 50 英里/小时, 那么在该段时间内一定

会有某一个时刻的速度为 50 英里/小时, 这个时刻可能出现在从 45 英

里/小时到 55 英里/小时的加速过程中.

为什么上述定理也叫作中值定理呢？毕竟, 我们已经有了一个中值定

理. 如果重新看一下 11.3 节讨论过的定理, 你会发现我们两次得到的

是同样的结论：在任何一段旅途中, 都有某一时刻的即时速度等于平均

速度. 这两个定理中唯一的不同是：在前一个版本中, 我们是用位移 -

时间图像中的斜率来解释的; 而现在, 我们使用速度 - 时间图像中的面

积来解释.

现在来看看这个定理为什么是成立的. 如 16.5 节所述, 我们设 M

为函数在 [a, b] 区间的最大值, m 为函数在 [a, b] 区间的最小值. f av

可能比 M 大吗？ 如果它比 M 大, 那么情况将会如图 16-31 所示.