Page 840 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

19.1 应用三角恒等式的积分

有三大类型的三角恒等式, 它们在积分计算中非常有用. 第一大类型是

关于 cos(2x) 的倍角公式. 在 2.4 节中, 我们知道 cos(2x) = 2

2
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cos (x)-1, 也知道 cos(2x) = 1-2 sin (x). (请记住, 其中的一个可以
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由另一个应用公式 sin (x)+cos (x) = 1 推导出来.) 该公式在积分计
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算中最好的应用地方是当被积函数中出现 sin (x) 和 cos (x) 时. 所
以, 我们有

这两个公式很值得记住! 具体而言, 如果需要求 1 + cos (任何值)

或 1-cos(任何值) 的平方根, 那这两个公式就派上用场了. 例如,

这道题看起来很麻烦, 但实际上

可以用刚才的第二个方框里的公式导出. (我们在使用这个公式前需要

乘以 2.) 然而, 如果直接用 替代 是很鲁莽的, 我们