Page 1 - révision bac math

Lyc´ ee Bir Lahmar
[ S´erie: R´evision 1 \
Ann´ ee Scolaire 2016 / 2017 4°Math

Exercice 1

1. On consid` ere dans Z × Z l’´ equation (E) : 32x + 97y = 1.

a) Justifier que (E) admet des solutions dans Z × Z.

b) Montrer que les solutions de (E) sont les couples (x,y) tel que : x = −3+97k et y = 1−32k,
avec k ∈ Z

c) R´ esoudre alors dans Z × Z l’´ equation 32x + 97y = 5

x ≡ 8(mod 32)
2. R´ esoudre dans Z le syst` eme (S) .
x ≡ 13(mod 97)
∗
3. Soit l’ensemble (Γ) = {n ∈ N ; n ≤ 96}.
a) Soit a un entier naturel. Montrer que :

2
a ≡ 1(mod 97) ⇐⇒ a ≡ 1(mod 97)oua ≡ −1(mod 97)

b) En d´ eduire que 1 et 96 sont les seuls entiers de (Γ) ´ egaux ` a leurs inverses modulo 97.

c) Montrer que : 96! ≡ −1(mod 97).

Exercice 2

1. On consid` ere dans Z × Z l’´ equation (E) : 6x + 7y = 57.

a) Montrer que si (x,y) est une solution de (E) alors x ≡ −1[7] .

b) R´ esoudre alors l’´ equation (E) dans Z × Z

6x + 7y = 57
c) R´ esoudre dans Z × Z le syst` eme :(S)
2
x ≡ y − 1[5]

− → −→ −→
2. L’espace E est muni d’un rep` ere orthonorm´ e direct O, ı ,  , k .
On consid` ere le plan P d’´ equation cart´ esienne : 6x + 7y + 8z = 57.

− → −→
Montrer qu’un seul des points d’intersection du plan P et le plan O, ı ,  a pour coor-
donn´ ees des entiers naturels. D´ eterminer les coordonn´ ees de ce point.

3. On se propose de d´ eterminer l’ensemble Γ des points M(x,y,z) du plan P ` a coordonn´ ees des
entiers naturels.

a) Soit M(x,y,z) un point de Γ . Montrer que : y = 2p + 1 avec p ∈ N.

b) Montrer alors que : p + z ≡ 1[3].

c) On suppose que : p + z = 3q + 1 avec q ∈ N. Montrer que x + p + 4q = 7. En d´ eduire que
q ∈ {0;1}.

d) D´ eterminer alors Γ.

Arithm´ etique et Espace - 1/2 - Prof : Kadri Wassim