Page 5 - révision bac math
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Ann´ ee Scolaire Section : Bac
[ S´erie R´evision N°3 \
2016/2017 Sections Scientifiques
Exercice 1
− → −→
Ci contre, figurent la courbe repr´ esentative C dans un rep` ere orthonorm´ e O, ı , , d’une fonc-
f
tion f d´ efinie et d´ eivable sur R ainsi son asymptote (D) et sa tangente (T) au point d’abscisse 0.
On sait que le point J(0,1) est le centre de sym´ etrie de la
courbe C , que l’asymptote (D) passe par les points K(−1,0)
f
et J, et que la tangente (T) a pour ´ equation : y = (1 − e)x + 1.
1. D´ eterminer une ´ equation de (D).
2. On suppose qu’il existe deux r´ eel m , p et une fonction ϕ
d´ efinie sur R telle que, pour tout r´ eel x, f(x) = mx+p+ϕ(x) 4
avec lim ϕ(x) = 0.
(T 3 ) (D)
x→+∞
a) D´ emontrer que m = p = 1.
b) Montrer que pour tout r´ eel x, on a : f(x) + f(−x) = 2. 2 C f
c) En d´ eduire, apr` es avoir expimer f(x) et f(−x), que la 1 J b
fonction ϕ est impaire.
d) D´ eduire de la question b) que f d´ eriv´ ee de f, est paire. −4 −3 −2 −1 1 2
′
3. On suppose maintenant que, pour tout r´ eel x on a −1
ϕ(x) = (ax + b)e −x 2 o` u a et b sont des r´ eels.
−2
a) En utilisant la parit´ e de ϕ d´ emontrer que b = 0.
−3
b) Calcuer f (x).
′
c) En utilisant le co´ efficient directeur de (T), d´ emontrer
que a = −e.
2
d) D´ emontrer que f(x) = x + 1 − xe −x +1 .
Exercice 2
− → −→
(I) Ci-dessous, on a repr´ esenter dans un rep` ere orthonorm´ e O, ı , la courbe C de la fonction
logarithme n´ ep´ erien ”ln” ainsi que la courbe C de la fonction f d´ efinie sur R par f(x) = xe −x+2 .
f
√
1. a) Placer les points de C d’abscisses e et e.
b) Calculer f(1) puis donner le signe de f (x) sur R.
′
2. On consid` ere la fonction g d´ efinie sur [1,+∞[ par : g(x) = ln(x) − f(x).
a) Montrer que g est strictement croissante sur [1,+∞[.
b) Dresser le tableau de variation de g.
c) Montrer que l’´ equation f(x) = ln(x) admet une unique soluion α dans [1,+∞[.
V´ erifier que 3 < α < 3,1.
d) En d´ eduire le signe de g sur [1,+∞[.
Int´ egrale-Logarithme-Exponentielle - 1/3 - Prof : Kadri Wassim
