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124 MÉTODOS CERRADOS

Solución. Para generar gráficas se usan paquetes como Excel y MATLAB. En la fi-
gura 5.4a se presenta la gráfica de f(x) desde x = 0 hasta x = 5. La gráfica muestra la
existencia de varias raíces, incluyendo quizás una doble raíz alrededor de x = 4.2, donde
f(x) parece ser tangente al eje x. Se obtiene una descripción más detallada del compor-
tamiento de f(x) cambiando el rango de graficación, desde x = 3 hasta x = 5, como se
muestra en la figura 5.4b. Finalmente, en la figura 5.4c, se reduce la escala vertical, de
f(x) = –0.15 a f(x) = 0.15, y la escala horizontal se reduce, de x = 4.2 a x = 4.3. Esta grá-
fica muestra claramente que no existe una doble raíz en esta región y que, en efecto, hay
dos raíces diferentes entre x = 4.23 y x = 4.26.
Las gráficas por computadora tienen gran utilidad en el estudio de los métodos
numéricos. Esta posibilidad también puede tener muchas aplicaciones en otras materias
de la escuela, así como en las actividades profesionales.

5.2 EL MÉTODO DE BISECCIÓN

Cuando se aplicaron las técnicas gráficas en el ejemplo 5.1, se observó (figura 5.1) que
f(x) cambió de signo a ambos lados de la raíz. En general, si f(x) es real y continúa en el
intervalo que va desde x hasta x y f(x ) y f(x ) tienen signos opuestos, es decir,
u
l
u
l
f(x ) f(x ) < 0 (5.1)
u
l
entonces hay al menos una raíz real entre x y x .
u
l
Los métodos de búsqueda incremental aprovechan esta característica localizando
un intervalo en el que la función cambie de signo. Entonces, la localización del cambio
de signo (y, en consecuencia, de la raíz) se logra con más exactitud al dividir el interva-
lo en varios subintervalos. Se investiga cada uno de estos subintervalos para encontrar
el cambio de signo. El proceso se repite y la aproximación a la raíz mejora cada vez más
en la medida que los subintervalos se dividen en intervalos cada vez más pequeños.
Volveremos al tema de búsquedas incrementales en la sección 5.4.

FIGURA 5.5
Paso 1: Elija valores iniciales inferior, x l , y superior, x u , que encierren la raíz, de forma
tal que la función cambie de signo en el intervalo. Esto se verifi ca comprobando
que f(x l ) f(x u ) < 0.
Paso 2: Una aproximación de la raíz x r se determina mediante:
x l + x u
x r = ——–
2
Paso 3: Realice las siguientes evaluaciones para determinar en qué subintervalo está
la raíz:
a) Si f(x l )f(x r ) < 0, entonces la raíz se encuentra dentro del subintervalo inferior
o izquierdo. Por lo tanto, haga x u = x r y vuelva al paso 2.
b) Si f(x l )f(x r ) > 0, entonces la raíz se encuentra dentro del subintervalo superior
o derecho. Por lo tanto, haga x l = x r y vuelva al paso 2.
c) Si f(x l )f(x r ) = 0, la raíz es igual a x r ; termina el cálculo.

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