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126 MÉTODOS CERRADOS

se crea un nuevo intervalo redefiniendo el límite inferior como 14 y determinando una
nueva aproximación corregida de la raíz

x = 14 +16 = 15
r
2
la cual representa un error porcentual verdadero e = 1.5%. Este proceso se repite para
t
obtener una mejor aproximación. Por ejemplo,
f(14)f(15) = 1.569(–0.425) = –0.666

Por lo tanto, la raíz está entre 14 y 15. El límite superior se redefine como 15 y la raíz
estimada para la tercera iteración se calcula así:

x = 14 +15 = 14 5.
r
2
que representa un error relativo porcentual e t = 1.9%. Este método se repite hasta que el
resultado sea suficientemente exacto para satisfacer sus necesidades.

En el ejemplo anterior, se observa que el error verdadero no disminuye con cada
iteración. Sin embargo, el intervalo donde se localiza la raíz se divide a la mitad en cada
paso del proceso. Como se estudiará en la siguiente sección, el ancho del intervalo pro-
porciona una estimación exacta del límite superior del error en el método de bisección.

5.2.1 Criterios de paro y estimaciones de errores
Terminamos el ejemplo 5.3 diciendo que el método se repite para obtener una aproxi-
mación más exacta de la raíz. Ahora se debe desarrollar un criterio objetivo para decidir
cuándo debe terminar el método.
Una sugerencia inicial sería finalizar el cálculo cuando el error verdadero se en-
cuentre por debajo de algún nivel prefijado. En el ejemplo 5.3 se observa que el error
relativo baja de 5.3 a 1.9% durante el procedimiento de cálculo. Puede decidirse que el
método termina cuando se alcance un error más bajo, por ejemplo, al 0.1%. Dicha estra-
tegia es inconveniente, ya que la estimación del error en el ejemplo anterior se basó en
el conocimiento del valor verdadero de la raíz de la función. Éste no es el caso de una
situación real, ya que no habría motivo para utilizar el método si se conoce la raíz.
Por lo tanto, se requiere estimar el error de forma tal que no se necesite el conoci-
miento previo de la raíz. Como se vio previamente en la sección 3.3, se puede calcular
el error relativo porcentual e de la siguiente manera (recuerde la ecuación 3.5):
a

ε = x r nuevo – x anterior 100 % (5.2)
r
a nuevo
x r
donde x r nuevo es la raíz en la iteración actual y x r anterior es el valor de la raíz en la iteración
anterior. Se utiliza el valor absoluto, ya que por lo general importa sólo la magnitud de
e sin considerar su signo. Cuando e es menor que un valor previamente fijado e , ter-
s
a
a
mina el cálculo.

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