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130 MÉTODOS CERRADOS

Debido a que en cada iteración se reduce el error a la mitad, la fórmula general que re-
laciona el error y el número de iteraciones, n, es
∆ x 0
E = (5.4)
n
a
2 n
Si E es el error deseado, en esta ecuación se despeja
a,d
log(∆ xE/ ) ⎛ ∆ x ⎞
0
0
n = ad, = log ⎜ ⎟ (5.5)
log2 2 ⎝ E ad ⎠
,
Probemos la fórmula. En el ejemplo 5.4, el intervalo inicial fue ∆x = 16 – 12 = 4.
0
Después de seis iteraciones, el error absoluto era
E = 14 875. −14 75. = 0 0625.
a
2
Si se sustituyen esos valores en la ecuación (5.5) resulta

n = log( / .4 0 0625 ) = 6
log2
Entonces, si se sabe de antemano que un error menor a 0.0625 es aceptable, la fórmula
indica que con seis iteraciones se consigue el resultado deseado.
Aunque se ha puesto énfasis en el uso del error relativo por obvias razones, habrá
casos (usualmente a través del conocimiento del contexto del problema) donde se podrá
especificar el error absoluto. En esos casos, la bisección junto con la ecuación (5.5)
ofrece un útil algoritmo de localización de raíces. Se explorarán tales aplicaciones con
los problemas al final del capítulo.

5.2.2 Algoritmo de bisección
El algoritmo en la figura 5.5 se extiende para incluir verificación del error (figura 5.10). El
algoritmo emplea funciones definidas por el usuario para volver más eficientes la loca-
lización de las raíces y la evaluación de las funciones. Además, se le pone un límite
superior al número de iteraciones. Por último, se incluye la verificación de errores para
evitar la división entre cero durante la evaluación del error. Éste podría ser el caso cuan-
do el intervalo está centrado en cero. En dicha situación la ecuación (5.2) tiende al infi-
nito. Si esto ocurre, el programa saltará la evaluación de error en esa iteración.
El algoritmo en la figura 5.10 no es amigable al usuario; más bien está diseñado
estrictamente para dar la respuesta. En el problema 5.14 al final del capítulo, se tendrá
una tarea para volverlo fácil de usar y de entender.

5.2.3 Minimización de las evaluaciones de una función
El algoritmo de bisección de la figura 5.10 es adecuado si se quiere realizar la evalua-
ción de una sola raíz de una función que es fácil de evaluar. Sin embargo, hay muchos
casos en ingeniería que no son así. Por ejemplo, suponga que se quiere desarrollar un

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