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134 MÉTODOS CERRADOS

se usa en el paso 2. Además, se usa el mismo criterio de terminación [ecuación (5.2)]
para concluir los cálculos.
EJEMPLO 5.5 Falsa posición

Planteamiento del problema. Con el método de la falsa posición determine la raíz
de la misma ecuación analizada en el ejemplo 5.1 [ecuación (E5.1.1)].

Solución. Como en el ejemplo 5.3 se empieza el cálculo con los valores iniciales x =
l
12 y x = 16.
u
Primera iteración:
x = 12 f(x ) = 6.0699
l
l
x = 16 f(x ) = –2.2688
u
u
−2 2688 12 16. ( − )
x = 16 − = 14 9113.
r
6 0669. −−2 2688( . )
que tiene un error relativo verdadero de 0.89 por ciento.
Segunda iteración:
f(x ) f(x ) = –1.5426
l
r
Por lo tanto, la raíz se encuentra en el primer subintervalo y x se vuelve ahora el límite
r
superior para la siguiente iteración, x = 14.9113:
u
x = 12 f(x ) = 6.0699
l
l
x = 14.9113 f(x ) = –0.2543
u
u
−0 2543 12 14 9113. ( − . )
x = 14.9113 − = 14 7942.
r
6 0669. −−0 2543( . )
el cual tiene errores relativos y verdadero y aproximado de 0.09 y 0.79 por ciento. Es po-
sible realizar iteraciones adicionales para hacer una mejor aproximación de las raíces.

Se obtiene una idea más completa de la eficiencia de los métodos de bisección y de
falsa posición al observar la figura 5.13, donde se muestra el error relativo porcentual
verdadero de los ejemplos 5.4 y 5.5. Observe cómo el error decrece mucho más rápida-
mente en el método de la falsa posición que en el de la bisección, debido a un esquema
más eficiente en el método de la falsa posición para la localización de raíces.
Recuerde que en el método de bisección el intervalo entre x y x u se va haciendo más
l
pequeño durante los cálculos. Por lo tanto, el intervalo, como se definió por ∆x/2 =
|x u – x l |/2 para la primera iteración, proporciona una medida del error en este método.
Éste no es el caso con el método de la falsa posición, ya que uno de los valores iniciales
puede permanecer fijo durante los cálculos, mientras que el otro converge hacia la raíz.
permanece en 12, mientras que
Como en el caso del ejemplo 5.6, el extremo inferior x l
x converge a la raíz. En tales casos, el intervalo no se acorta, sino que se aproxima a un
u
valor constante.

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