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5.3 MÉTODO DE LA FALSA POSICIÓN 137

De esta manera, después de cinco iteraciones, el error verdadero se reduce a menos del
2%. Con la falsa posición se obtienen resultados muy diferentes:

Iteración x l x u x r e a (%) e t (%)
1 0 1.3 0.09430 90.6
2 0.09430 1.3 0.18176 48.1 81.8
3 0.18176 1.3 0.26287 30.9 73.7
4 0.26287 1.3 0.33811 22.3 66.2
5 0.33811 1.3 0.40788 17.1 59.2

Después de cinco iteraciones, el error verdadero sólo se ha reducido al 59%. Además,
observe que e < e . Entonces, el error aproximado es engañoso. Se obtiene mayor cla-
t
a
ridad sobre estos resultados examinando una gráfica de la función. En la figura 5.14, la
curva viola la premisa sobre la cual se basa la falsa posición; es decir, si f(x ) se encuen-
l
tra mucho más cerca de cero que f(x ), la raíz se encuentra más cerca de x que de x
l
u
u
(recuerde la figura 5.12). Sin embargo, debido a la forma de esta función ocurre lo con-
trario.
El ejemplo anterior ilustra que, por lo común, no es posible realizar generalizaciones
con los métodos de obtención de raíces. Aunque un método como el de la falsa posición
casi siempre es superior al de bisección, hay algunos casos que violan esta conclusión
general. Por lo tanto, además de usar la ecuación (5.2), los resultados se deben verificar
sustituyendo la raíz aproximada en la ecuación original y determinar si el resultado se
acerca a cero. Esta prueba se debe incorporar en todos los programas que localizan
raíces.
El ejemplo ilustra también una importante desventaja del método de la falsa posición:
su unilateralidad. Es decir, conforme se avanza en las iteraciones, uno de los puntos
limitantes del intervalo tiende a permanecer fijo. Esto puede llevar a una mala conver-
gencia, especialmente en funciones con una curvatura importante. La sección siguiente
ofrece una solución.

5.3.2 Falsa posición modifi cada

Una forma de disminuir la naturaleza unilateral de la falsa posición consiste en obtener
un algoritmo que detecte cuando se “estanca” uno de los límites del intervalo. Si ocurre
esto, se divide a la mitad el valor de la función en el punto de “estancamiento”. A este
método se le llama método de la falsa posición modificado.
El algoritmo dado en la figura 5.15 lleva a cabo dicha estrategia. Observe cómo se
han usado contadores para determinar si uno de los límites del intervalo permanece fijo
“estancado” durante dos iteraciones. Si ocurre así, el valor de la función en este valor de
“estancamiento” se divide a la mitad.
La efectividad de este algoritmo se demuestra aplicándolo al ejemplo 5.6. Si se uti-
liza un criterio de terminación de 0.01% el método de bisección y el método estándar de

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