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7.5 MÉTODO DE BAIRSTOW 183

La inspección de la ecuación (7.31) nos lleva a concluir que para que el residuo sea
cero, b y b 1 deben ser cero. Como es improbable que los valores iniciales para evaluar
0
r y s conduzcan a este resultado, debemos determinar una forma sistemática para mo-
dificar los valores iniciales, de tal forma que b y b tiendan a cero. Para lograrlo, el
0
1
método de Bairstow usa una estrategia similar a la del método de Newton-Raphson.
Como tanto b como b son funciones de r y s, se pueden expandir usando una serie de
1
0
Taylor, así [recuerde la ecuación (4.26)]:
∂b ∂b
b (r + ∆r, s + ∆s) = b + 1 r ∆ + 1 s ∆
1
1
∂r ∂s
∂b ∂b
b (r + ∆r, s + ∆s) = b + 0 r ∆ + 0 s ∆ (7.33)
0
0
∂r ∂s
donde los valores del lado derecho se evalúan en r y s. Observe que se han despreciado
los términos de segundo orden y de orden superior. Esto representa una suposición im-
plícita de que –r y –s son suficientemente pequeños para que los términos de orden
superior puedan despreciarse. Otra manera de expresar esta suposición es que los valo-
res iniciales son adecuadamente cercanos a los valores de r y s en las raíces.
Los incrementos, ∆r y ∆s, necesarios para mejorar nuestros valores iniciales, se
estiman igualando a cero la ecuación (7.33) para dar

∂b 1 r ∆ + ∂b 1 s ∆ =−b (7.34)
∂r ∂s 1

∂b 0 r ∆ + ∂b 0 s ∆ =−b (7.35)
∂r ∂s 0

Si las derivadas parciales de las b, pueden determinarse, hay un sistema de dos ecuacio-
nes que se resuelve simultáneamente para las dos incógnitas, ∆r y ∆s. Bairstow demos-
tró que las derivadas parciales se obtienen por división sintética de las b en forma
similar a como las b mismas fueron obtenidas:
= b (7.36a)
c n n
c = b + rc n (7.36b)
n–1
n–1
c = b + rc + sc para i = n – 2 a 1 (7.36c)
i+1
i
i+2
i
donde ∂b /∂r = c , ∂b /∂s = ∂b /∂r = c y ∂b /∂s = c . Así, las derivadas parciales se
0
3
l
0
2
1
1
obtienen por la división sintética de las b. Entonces, las derivadas parciales se sustituyen
en las ecuaciones (7.34) y (7.35) junto con las b para dar
c ∆r + c ∆s = –b 1
2
3
c ∆r + c ∆s = –b 0
2
1
Estas ecuaciones se resuelven para ∆r y ∆s, las cuales, a su vez, se emplean para mejorar
los valores iniciales de r y s. En cada paso, se estima un error aproximado en r y s:
∆r
|e | = 100% (7.37)
a,r
r
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