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182 RAÍCES DE POLINOMIOS

Si se divide entre un factor que no es una raíz (por ejemplo, x + 6), el cociente es un
polinomio de cuarto grado. Aunque, en este caso, habrá un residuo diferente de cero.
Con estas consideraciones se puede elaborar un algoritmo para determinar la raíz
de un polinomio: 1. dé un valor inicial para la raíz x = t; 2. divida el polinomio entre el
factor x – t, y 3. determine si hay un residuo diferente de cero. Si no, el valor inicial es
perfecto y la raíz es igual a t. Si existe un residuo, se ajusta el valor inicial en forma
sistemática y se repite el procedimiento hasta que el residuo desaparezca y se localice
la raíz. Una vez hecho esto, se repite el procedimiento totalmente, ahora con el cociente
para localizar otra raíz.
Por lo general, el método de Bairstow se basa en esta manera de proceder. Por con-
siguiente, depende del proceso matemático de dividir un polinomio entre un factor.
Recuerde (sección 7.2.2) de nuestro estudio de la deflación de polinomios que la división
sintética implica la división del polinomio entre un factor x – t. Por ejemplo, el polinomio
general [ecuación (7.1)]
2
ƒ (x) = a + a x + a x +···+ a x n (7.29)
0
n
n
1
2
se divide entre el factor x – t para dar un segundo polinomio que es de un grado menor:
2
ƒ (x) = b + b x + b x + ··· + b x n–1 (7.30)
n–1
3
2
n
1
con un residuo R = b 0 , donde los coeficientes se calculan por la relación de recurrencia
b = a n
n
b = a + b t para i = n – 1 a 0
i+1
i
i
Observe que si t es una raíz del polinomio original, el residuo b sería igual a cero.
0
Para permitir la evaluación de raíces complejas, el método de Bairstow divide el
2
polinomio entre un factor cuadrático x – rx – s. Si esto se hace con la ecuación (7.29),
el resultado es un nuevo polinomio
n–3
ƒ (x) = b + b x +···+ b x + b x n–2
3
2
n–1
n
n–2
con un residuo
R = b (x – r) + b 0 (7.31)
1
Como con la división sintética normal, se utiliza una relación de recurrencia simple para
realizar la división entre el factor cuadrático:
= a (7.32a)
b n n
b = a + rb (7.32b)
n
n–1
n–1
b = a + rb + sb para i = n – 2 a 0 (7.32c)
i+1
i
i
i+2
El factor cuadrático se introduce para permitir la determinación de las raíces com-
plejas. Esto se relaciona con el hecho de que, si los coeficientes del polinomio original
2
son reales, las raíces complejas se presentan en pares conjugados. Si x – rx – s es un
divisor exacto del polinomio, las raíces complejas pueden determinarse con la fórmula
cuadrática. Así, el método se reduce a determinar los valores de r y s que hacen que el
factor cuadrático sea un divisor exacto. En otras palabras, se buscan los valores que
hacen que el residuo sea igual a cero.
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