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260 ELIMINACIÓN DE GAUSS

de j = 2 a n. Por último, hay una multiplicación más del valor del lado derecho (factor ·
). Así, en cada iteración del ciclo intermedio, el número de multiplicaciones es
b k
1 + [n – 2 + 1] + 1 = 1 + n (9.20)
El total en la primera pasada del ciclo externo, por lo tanto, se obtiene al multiplicar la
ecuación (9.19) por la (9.20) para obtener [n – 1](1 + n).
Un procedimiento similar se emplea para estimar las FLOP de la multiplicación/
división en las iteraciones subsecuentes del ciclo externo. Esto se resume así:

Lazo externo Lazo medio Flops de Flops de
k i Suma/Resta Multiplicación/División
1 2, n (n – 1) (n) (n – 1)(n + 1)
2 3, n (n – 2)(n – 1) (n – 2)(n)
· · ·
· · ·
· · ·
k k + 1, n (n – k)(n + 1 – k) (n – k)(n + 2 – k)
· · ·
· · ·
· · ·
n – 1 n, n (1) (2) (1) (3)

Por tanto, el total de flops de la suma/resta para el proceso de eliminación se calcu-
la como
–1
n
n––1
∑ (– )(nk n +1 – )k = ∑ [ (n n +1 ) – (k n +2 1 ) k+ 2 ]
k=1 k=1
o bien
n−1
n−1
n−1
∑ − ∑ k + ∑ 2
nn( +1 ) 1 (2 n +1 ) k
k=1 k=1 k=1
Al aplicar alguna de las relaciones de la ecuación (9.18) se obtiene
1 ⎡ 2 ⎤ n 3
[n + O ( )] [n − n + O ( )n + ⎢ 3 ⎣ n + O ( )n ⎥ ⎦ = 3 + O (nn) (9.21)
3
3
2
3
Un análisis similar para los flops de la multiplicación/división lleva a lo siguiente
1 ⎡ 2 ⎤ n 3
[n + O ( )] [n 2 − n + O ( )n + ⎢ 3 ⎣ n + O ( )n ⎥ ⎦ = 3 + O (nn ) (9.22)
3
3
3
2
Al sumar el resultado queda
2n 3
+ On()
2
3
3
Así, el número total de flops es igual a 2n /3 más un componente adicional de pro-
2
porcionalidad para términos de orden n y menores. El resultado se escribe de esta
2
manera porque conforme n crece, los términos O(n ) y menores se hacen despreciables.
Por tanto, se justifica concluir que para un valor de n grande, el esfuerzo necesario para
3
la eliminación hacia adelante converge a 2n /3.
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