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9.3 DIFICULTADES EN LOS MÉTODOS DE ELIMINACIÓN 261

TABLA 9.1 Número de FLOP en la eliminación de Gauss simple.

Porcentaje
Sustitución Total debido a la
3
n Eliminación hacia atrás de FLOP 2n /3 eliminación
10 375 55 430 333 87.21%
100 338 250 5 050 343 300 333 333 98.53%
1 000 3.34E+08 500 500 3.34 × 10 8 3.33 × 10 8 99.85%

Debido a que sólo se utiliza un lazo (ciclo), la sustitución hacia atrás es mucho más
fácil de evaluar. El número de flops adicionales para la suma/resta es igual a n(n – 1)/2.
Debido a la división adicional anterior al lazo, el número de flops para la multiplicación/
división es n(n + 1)/2. Esto se suma para llegar a un total de
2
n + O(n)
Entonces, el trabajo total en la eliminación de Gauss simple se representa como
2n 3 n 2 2n 3
⎯
→
+ On +() + On ⎯⎯⎯⎯⎯( ) conforme n aumenta ⎯ + On() (9.23)
2
2
3 2 3
Eliminación Sustitución
hacia adelante hacia atrás
En este análisis destacan dos conclusiones generales útiles:
1. Conforme el sistema se vuelve más grande, el tiempo de cálculo aumenta enorme-
mente. Como en la tabla 9.1, la cantidad de FLOP aumenta casi tres órdenes de
magnitud por cada orden de aumento de la dimensión.
2. La mayor parte del trabajo ocurre en el paso de eliminación. Así, para hacer el mé-
todo más eficiente, debería enfocarse a este paso.

9.3 DIFICULTADES EN LOS MÉTODOS DE ELIMINACIÓN

Mientras que hay muchos sistemas de ecuaciones que se pueden resolver con la elimi-
nación de Gauss simple, existen algunas dificultades que se deben analizar, antes de
escribir un programa de cómputo general donde se implemente el método. Aunque el
siguiente material se relaciona en forma directa con la eliminación de Gauss simple, la
información también es relevante para otras técnicas de eliminación.

9.3.1 División entre cero
La razón principal por la que se le ha llamado simple al método anterior se debe a que
durante las fases de eliminación y sustitución hacia atrás es posible que ocurra una di-
visión entre cero. Por ejemplo, si se utiliza el método de eliminación de Gauss simple
para resolver
2x + 3x = 8
3
2
4x + 6x + 7x = –3
l
3
2
2x + x + 6x = 5
1
2
3
en la normalización del primer renglón habrá una división entre a = 0. También se
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pueden presentar problemas cuando un coeficiente está muy cercano a cero. La técnica
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