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276 ELIMINACIÓN DE GAUSS

La solución de este sistema consiste en un conjunto de valores x que hacen todas las
ecuaciones igual a cero.
Como se describió en la sección 6.5.2, un procedimiento para resolver tales sistemas
se basa en la versión multidimensional del método de Newton-Raphson. Así, se escribe
para cada ecuación una expansión de la serie de Taylor. Por ejemplo, para la
k-ésima ecuación,
f ∂ f ∂ f ∂
f ki , +1 = f + x ( 1 i , +1 − x ) x ∂ ki , + x ( 2 i , +1 − x ) x ∂ ki , + + x ( ni , +1 − x ) x ∂ ki , (9.32)
i , 1
i , 2
ni ,
ki ,
1 2 n
donde el primer subíndice, k, representa la ecuación o la incógnita, y el segundo subín-
dice denota si el valor de la función en cuestión es el presente (i) o el siguiente (i + 1).
Las ecuaciones de la forma (9.32) son escritas para cada una de las ecuaciones no
lineales originales. Después, como se hizo al obtener la ecuación (6.20) a partir de la
(6.19), todos los términos f k,i+1 se igualan a cero, como sería el caso en la raíz, y la ecua-
ción (9.32) se escribe como
f ∂ f ∂ f ∂
– f + x , ki + x , ki + + x , ki (9.33)
, ki ,i 1 x ∂ 1 2 ,i x ∂ 2 , ni x ∂ n
f ∂ f ∂ f ∂
= x 1 ,i+1 , ki + x 2 ,i+1 , ki + + x , ni+1 , ki
x ∂
1 x ∂ 2 x ∂ n
Observe que las únicas incógnitas en la ecuación (9.33) son los términos x k,i+1 del lado
derecho. Todas las otras cantidades tienen su valor presente (i) y, por lo tanto, son cono-
cidas en cualquier iteración. En consecuencia, el sistema de ecuaciones representado, en
general, por la ecuación (9.33) (es decir, con k = 1, 2, …, n) constituye un sistema de
ecuaciones lineales simultáneas que se pueden resolver con los métodos analizados en
esta parte del libro.
Se puede emplear la notación matricial para expresar la ecuación (9.33) en forma
concisa. Las derivadas parciales se expresan como

⎡ f ∂ ,i 1 f ∂ ,i 1 f ∂ 1 ,i ⎤
⎢ x ∂ x ∂ x ∂ ⎥
⎢ 1 2 n ⎥
⎢ f ∂ 2 ,i f ∂ 2 ,i f ∂ 2 ,i ⎥
⎢ x ∂ x ∂ x ∂ ⎥
[]Z = ⎢ ⎢ ⋅ 1 ⋅ 2 ⋅ n ⎥ ⎥
⎢ ⋅ ⋅ ⋅ ⎥
⎢ ⎥ (9.34)
⎢ ⋅ ⋅ ⋅ ⎥
⎢ f ∂ , ni f ∂ , ni f ∂ , ni ⎥
⎢ ⎣ x ∂ 1 x ∂ 2 x ∂ n ⎦ ⎥

Los valores inicial y final se expresan en forma vectorial como
{X } = ⎣x x … x ⎦
T
n,i
2,i
1,i
i
y
T
{X } = ⎣x 1,i+1 x 2,i+1 … x n,i+1 ⎦
i+1

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