Page 301 - Chapra y Canale. Metodos Numericos para Ingenieros 5edición_Neat

9.7 GAUSS-JORDAN 277

Finalmente, los valores de la función en i se pueden expresar como
a ⎡ a a c ⎤
T
⎢ 11 12 13 1 ⎥ {F } = ⎣f f ··· f ⎦
2,i
i
n,i
1,i
⎢ a 21 a 22 a 23 c 2⎥
⎢ ⎥ Usando estas relaciones, la ecuación (9.33) se representa en forma concisa como
⎣ a 31 a 32 a 33 c 3 ⎦
↓ [Z]{X } = –{F } +[Z]{X } (9.35)
i
i+1
i
⎡ 1 0 0 c ⎤
n ()
⎢ 1 ⎥ La ecuación (9.35) se resuelve usando una técnica como la eliminación de Gauss. Este
n ()
⎢ 0 1 0 c 2 ⎥ proceso se repite iterativamente para obtener una aproximación refinada de forma simi-
⎢ () n ⎥
⎣ 0 0 1 c 3 ⎦ lar al caso de dos ecuaciones como en la sección 6.5.2.
↓ Se debe notar que el procedimiento anterior tiene dos desventajas importantes.
Primero, a menudo no es fácil evaluar la ecuación (9.34). Por lo que se ha desarrollado
x 1 = c 1 n () una variación del método de Newton-Raphson para evitar tal problema. Como podría
x 2 = c 2 n () esperarse, tal variación se basa en el uso de aproximaciones por diferencias finitas, para
x = c 3 n () calcular las derivadas parciales que aparecen en [Z].
3
La segunda desventaja del método de Newton-Raphson para multiecuaciones es que
FIGURA 9.9 usualmente se requiere de excelentes valores iniciales para asegurar la convergencia. Ya
Representación gráfi ca del que con frecuencia esto es difícil de obtener, se han desarrollado métodos alternos que,
método de Gauss-Jordan. aunque son más lentos que el método de Newton-Raphson, dan un mejor comportamien-
Compare con la fi gura 9.3 to de convergencia. Un método común es reformular el sistema no lineal como una sola
para observar la diferencia función
entre esta técnica y la de n
eliminación de Gauss. El Fx() = ∑ [ f x x( , ,… x , )] 2 (9.36)
superíndice (n) signifi ca que i=1 i i 2 n
los elementos del vector
del lado derecho se han donde f (x , x , …, x ) es el i-ésimo miembro del sistema original de la ecuación (9.31).
2
i
n
1
modifi cado n veces (en este Los valores de x que minimizan esta función representan también la solución del sistema
caso n = 3). no lineal. Como se verá en el capítulo 17, esta reformulación pertenece a una clase de
problemas llamados regresión no lineal. Como tal, se puede abordar con varias técnicas
de optimización como las que se describirán más adelante en este texto (parte cuatro,
específicamente en el capítulo 14).
9.7 GAUSS-JORDAN
El método de Gauss-Jordan es una variación de la eliminación de Gauss. La principal
diferencia consiste en que cuando una incógnita se elimina en el método de Gauss-Jordan,
ésta es eliminada de todas las otras ecuaciones, no sólo de las subsecuentes. Además,
todos los renglones se normalizan al dividirlos entre su elemento pivote. De esta forma,
el paso de eliminación genera una matriz identidad en vez de una triangular (figura 9.9).
En consecuencia, no es necesario usar la sustitución hacia atrás para obtener la solución.
El método se ilustra mejor con un ejemplo.

EJEMPLO 9.12 Método de Gauss-Jordan
Planteamiento del problema. Con la técnica de Gauss-Jordan resuelva el sistema del
ejemplo 9.5:
3x – 0.1x – 0.2x = 7.85
3
1
2
0.1x + 7x – 0.3x = –19.3
3
2
1
0.3x – 0.2x + 10x = 71.4
3
1
2
6/12/06 13:52:42
Chapra-09.indd 277 6/12/06 13:52:42
Chapra-09.indd 277