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CAPÍTULO 10
Descomposición LU
e inversión de matrices
En este capítulo se estudiará una clase de métodos de eliminación llamada técnicas de
descomposición LU. El principal recurso de la descomposición LU es que el paso de la
eliminación que toma mucho tiempo se puede formular de tal manera que involucre sólo
operaciones con la matriz de coeficientes [A]. Por esto, es muy adecuado para aquellas
situaciones donde se deben evaluar muchos vectores {B} del lado derecho para un solo
valor de [A]. Aunque hay muchas formas de hacer esto, el análisis se enfocará en mostrar
cómo el método de eliminación de Gauss se implementa como una descomposición LU.
Un motivo para introducir la descomposición LU es que proporciona un medio
eficiente para calcular la matriz inversa. La inversa tiene muchas aplicaciones valiosas
en la práctica de la ingeniería. Ésta ofrece también un medio para evaluar la condición
de un sistema.
10.1 DESCOMPOSICIÓN LU
Como se describió en el capítulo anterior, la eliminación de Gauss sirve para resolver
sistemas de ecuaciones algebraicas lineales,
[A]{X} = {B} (10.1)
Aunque la eliminación Gauss representa una forma satisfactoria para resolver tales
sistemas, resulta ineficiente cuando deben resolverse ecuaciones con los mismos coefi-
cientes [A], pero con diferentes constantes del lado derecho (las b).
Recuerde que la eliminación de Gauss implica dos pasos: eliminación hacia adelan-
te y sustitución hacia atrás (figura 9.3). De ambas, el paso de eliminación hacia adelan-
te es el que representa la mayor parte del trabajo computacional (recuerde la tabla 9.1).
Esto es particularmente cierto para grandes sistemas de ecuaciones.
Los métodos de descomposición LU separan el tiempo usado en las eliminaciones
para la matriz [A] de las manipulaciones en el lado derecho {B}. Una vez que [A] se ha
“descompuesto”, los múltiples vectores del lado derecho {B} se pueden evaluar de ma-
nera eficiente.
El hecho de que la misma eliminación de Gauss se puede expresar como una des-
composición LU es muy interesante. Antes de mostrar cómo se puede realizar esto,
demos primero una demostración matemática de la estrategia de descomposición.
10.1.1 Revisión de la descomposición LU
De manera similar al caso de la eliminación de Gauss, la descomposición LU requiere
de pivoteo para evitar la división entre cero. Sin embargo, para simplificar la siguiente
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