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10.1 DESCOMPOSICIÓN LU 285

y restar el resultado al segundo renglón para eliminar a . De forma similar, el renglón
2l
1 se multiplica por
f = a 31
31
a
11
y el resultado se resta al tercer renglón para eliminar a . El paso final es multiplicar el
31
segundo renglón modificado por
a′
f = 32
32 a′
22
y restar el resultado al tercer renglón para eliminar a′ .
32
Ahora suponga que realizamos todas esas operaciones sólo en la matriz [A]. Resul-
ta claro que si no se quiere modificar la ecuación, se tiene que hacer lo mismo con el
lado derecho {B}. Pero no existe ninguna razón para realizar las operaciones en forma
simultánea. Se podrían conservar las f y después manipular {B}.
¿Dónde se guardan los factores f , f y f ? Recuerde que la idea principal de la
31
21
32
eliminación fue crear ceros en a , a y a . Entonces, se puede guardar f en a , f en
21
21
32
31
21
31
a , y f en a . Después de la eliminación la matriz [A], por lo tanto, se describe
32
32
31
como
a ⎡ a a ⎤
⎢ 11 a′ 12 a′ 13 ⎥
⎢ f 21 22 23 ⎥ (10.10)
33⎦
⎣ f ⎢ 31 f 32 a′′ ⎥
De hecho, esta matriz representa un almacenamiento eficiente de la descomposición LU
de [A].
[A] → [L][U] (10.11)
donde
a a ⎤
a ⎡ 11 12 13
⎢ ⎥
[]U = 0 a′ 22 a′ 23 ⎥
⎢
⎣ ⎢ 0 0 a′′ ⎥ ⎦
33
y
⎡ 1 0 ⎤ 0
[]L = ⎢ ⎢ f 21 1 0 ⎥ ⎥
f ⎢ f ⎥ 1
⎣ 31 32 ⎦
El siguiente ejemplo confirma que [A] = [L][U].

EJEMPLO 10.1 Descomposición LU con eliminación de Gauss

Planteamiento del problema. Obtenga una descomposición LU basándose en la
eliminación de Gauss que se realizó en el ejemplo 9.5.

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