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284 DESCOMPOSICIÓN LU E INVERSIÓN DE MATRICES

A X B
a) Decomposición
U L

L D B
b) Hacia
adelante
D
Sustitución
U X D
c) Hacia
atrás
FIGURA 10.1 X
Pasos en la descomposición
LU.

Ahora se mostrará cómo se puede llevar a cabo la eliminación de Gauss en esta forma.

10.1.2 Versión de la eliminación de Gauss usando
la descomposición LU
Aunque a primera vista podría parecer que la eliminación de Gauss no está relacionada
con la eliminación LU, aquélla puede usarse para descomponer [A] en [L] y [U], lo cual
se observa fácilmente para [U], que es el resultado directo de la eliminación hacia ade-
lante. Recuerde que en el paso correspondiente a esta eliminación se pretende reducir la
matriz de coeficientes [A] a la forma

a ⎡ a a ⎤
⎢ 11 12 13 ⎥
[]U = 0 a′ 22 a′ 23 ⎥ (10.9)
⎢
⎣ ⎢ 0 0 a′′ ⎥ ⎦
33
que es el formato triangular superior deseado.
Aunque quizá no sea muy clara, la matriz [L] se produce durante este paso. Lo
anterior se ilustra fácilmente con un sistema de tres ecuaciones,

a ⎡ a a ⎤⎧ ⎫ ⎧ b ⎫
x
1
1
⎢ 11 12 13 ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪
b
⎢ a 21 a 22 a 23 ⎨ x ⎬ = ⎨ ⎬
⎥
2
2
33⎦⎩ ⎭
⎣ a ⎢ 31 a 32 a ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
3⎭
x
⎩
b
3
El primer paso en la eliminación de Gauss consiste en multiplicar el renglón 1 por el
factor [recuerde la ecuación (9.13)]
f = a 21
21
a 11
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