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10.1 DESCOMPOSICIÓN LU 283

descripción, abordaremos el tema del pivoteo después de que el planteamiento funda-
mental se haya elaborado. Además, la siguiente explicación se limita a un conjunto de
tres ecuaciones simultáneas. Los resultados se pueden extender en forma directa a sis-
temas n dimensionales.
La ecuación (10.1) se reordena como
[A] {X} – {B} = 0 (10.2)

Suponga que la ecuación (10.2) puede expresarse como un sistema triangular superior:
u ⎡ u u ⎤⎧ ⎫ ⎧ d ⎫
x
1
1
⎢ 11 12 13 ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪
d
⎥
⎢ 0 u 22 u 23 ⎨ x ⎬ = ⎨ ⎬ (10.3)
2
2
⎢ ⎣ 0 0 u ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
3⎭
⎩
33⎦⎩ ⎭
d
x
3
Observe que esto es similar a la manipulación que ocurre en el primer paso de la elimi-
nación de Gauss. Es decir, se utiliza la eliminación para reducir el sistema a una forma
triangular superior. La ecuación (10.3) también se expresa en notación matricial y se
reordena como
[U]{X} – {D} = 0 (10.4)
Ahora, suponga que existe una matriz diagonal inferior con números 1 en la diago-
nal,
⎡ 1 0 ⎤ 0
[]L = ⎢ ⎢ l 21 1 0 ⎥ ⎥ (10.5)
l ⎢ l ⎥ 1
⎣ 31 32 ⎦
que tiene la propiedad de que cuando se premultiplica por la ecuación (10.4), el resulta-
do es la ecuación (10.2). Es decir,
[L]{[U]{X} – {D}} = [A]{X} – {B} (10.6)

Si esta ecuación se satisface, según las reglas de multiplicación entre matrices, se obten-
drá
[L][U] = [A] (10.7)

y
[L]{D} = {B} (10.8)
Una estrategia de dos pasos (véase figura 10.1) para obtener soluciones se basa en
las ecuaciones (10.4), (10.7) y (10.8):
1. Paso de descomposición LU. [A] se factoriza o “descompone” en las matrices trian-
gulares inferior [L] y superior [U].
2. Paso de la sustitución. [L] y [U] se usan para determinar una solución {X} para un
lado derecho {B}. Este paso, a su vez, se divide en dos. Primero, la ecuación (10.8)
se usa para generar un vector intermedio {D} mediante sustitución hacia adelante.
Después, el resultado se sustituye en la ecuación (10.4), la que se resuelve por sus-
titución hacia atrás para {X}.

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