Page 329 - Chapra y Canale. Metodos Numericos para Ingenieros 5edición_Neat

CAPÍTULO 11

Matrices especiales y el método

de Gauss-Seidel

Ciertas matrices tienen una estructura particular que puede aprovecharse para desarro-
llar esquemas de solución eficientes. La primera parte de este capítulo se dedica a dos
de estos sistemas: matrices bandeadas y simétricas. Se describen métodos de elimina-
ción eficiente para ambas.
La segunda parte de este capítulo presenta una alternativa a los métodos de elimi-
nación, es decir, métodos iterativos. El enfoque se da con el método de Gauss-Seidel, el
cual emplea valores iniciales y después itera para obtener mejores aproximaciones a la
solución. El método de Gauss-Seidel es particularmente adecuado cuando se tiene gran
número de ecuaciones. En estos casos, los métodos de eliminación pueden estar sujetos
a errores de redondeo. Debido a que el error en el método de Gauss-Seidel es determi-
nado por el número de iteraciones, el error de redondeo no es un tema que preocupe a este
método. Aunque, existen ciertos ejemplos donde la técnica de Gauss-Seidel no conver-
gerá al resultado correcto. Éstas y algunas otras ventajas y desventajas que se tienen
entre los métodos de eliminación e iterativos se analizarán en las páginas siguientes.

11.1 MATRICES ESPECIALES

Como se mencionó en el cuadro PT3.1, una matriz bandeada es una matriz cuadrada en
la que todos sus elementos son cero, con excepción de una banda centrada sobre la dia-
gonal principal. Los sistemas bandeados se encuentran con frecuencia en la práctica
científica y de la ingeniería. Por ejemplo, tales sistemas aparecen en la solución de ecua-
ciones diferenciales. Además, otros métodos numéricos como el de los trazadores cú bicos
(sección 18.5) involucran la solución de sistemas bandeados.
Las dimensiones de un sistema bandeado se cuantifica mediante dos parámetros:
el ancho de banda (BW, por sus iniciales en inglés) y el ancho de media banda HBW
(figura 11.1). Estos dos valores se relacionan mediante BW = 2HBW + 1. En general, un
sistema bandeado es aquel para el cual a = 0 si ⎪i – j⎪ > HBW.
ij
Aunque la eliminación de Gauss o la descomposición LU convencional se emplean
para resolver sistemas de ecuaciones bandeados, resultan ser ineficientes, debido a que
si el pivoteo no es necesario, ninguno de los elementos fuera de la banda cambiará su
valor original igual a cero. Así, será necesario utilizar tiempo y espacio en el almacena-
miento y en el manejo de estos ceros inútiles. Si se sabe de antemano que el pivoteo no
es necesario, se pueden desarrollar algoritmos muy eficientes en los que no intervengan
los ceros fuera de la banda. Como en muchos problemas con sistemas bandeados, no se
requiere el pivoteo; los algoritmos alternos, que se describirán a continuación, son los
métodos seleccionados para tal fin.

6/12/06 13:54:09
Chapra-11.indd 305
Chapra-11.indd 305 6/12/06 13:54:09