Page 330 - Chapra y Canale. Metodos Numericos para Ingenieros 5edición_Neat

306 MATRICES ESPECIALES Y EL MÉTODO DE GAUSS-SEIDEL

HBW+1

HBW
Diagonal

BW

FIGURA 11.1
Parámetros utilizados para cuantifi car las dimensiones de un sistema bandeado. BW y HBW
a) Descomposición designan el ancho de banda y el ancho de media banda, respectivamente.
DOFOR k = 2, n
e k = e k /f k–1
f k = f k – e k · g k–1
END DO 11.1.1 Sistemas tridiagonales
Un sistema tridiagonal (es decir, uno con un ancho de banda 3) se expresa en forma
b) Sustitución hacia
adelante general como:
DOFOR k = 2, n
r k = r k – e k · r k–1 f ⎡ g ⎤ ⎧ x ⎫ ⎧ r ⎫
END DO ⎢ 1 1 ⎥ ⎪ 1 ⎪ ⎪ 1 ⎪
⎢ e 2 f 2 g 2 ⎥ ⎪ x 2 ⎪ ⎪ r 2 ⎪
c) Sustitución hacia atrás ⎢ e f g ⎥ ⎪ x ⎪ ⎪ r ⎪
⎢ 3 3 3 ⎥ ⎪ 3 ⎪ ⎪ 3 ⎪
⎢ ⋅ ⋅ ⋅ ⎥ ⎪ ⋅ ⎪ ⎪ ⋅ ⎪
x n = r n /f n
DOFOR k = n – 1, 1, –1 ⎢ ⋅ ⋅ ⋅ ⎥ ⎨ ⋅ ⎬ = ⎨ ⋅ ⎬ (11.1)
⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
x k = (r k – g k · x k +1 )/f k ⎢ ⋅ ⋅ ⋅ ⎥ ⎪ ⋅ ⎪ ⎪ ⋅⋅ ⎪
END DO ⎪ ⎪
⎢ ⎥ ⎪ ⎪
r
⎢ e n 1 – f n 1 – g n 1 ⎥ ⎪ x n 1⎪ ⎪ n –1 ⎪
–
–
⎪
FIGURA 11.2 ⎢ ⎣ e f ⎥ ⎪ x n ⎭ ⎪ r ⎪
⎩
⎭
n ⎦ ⎩
Seudocódigo para n n
implementar el algoritmo
de Thomas, un método de Observe que se ha cambiado la notación para los coeficientes; en lugar de a y b usamos
descomposición LU para e, f, g y r. Esto se hace para evitar guardar un gran número de ceros que no se utilizan
sistemas tridiagonales.
en la matriz cuadrada de las a. Esta modificación es ventajosa para ahorrar espacio, ya
que el algoritmo resultante requiere menos memoria de cómputo.
En la figura 11.2 se muestra el seudocódigo de un método eficiente, llamado algo-
ritmo de Thomas, para resolver la ecuación (11.1). Como una descomposición LU con-
vencional, el algoritmo consiste de tres pasos: descomposición, sustitución hacia
adelante y sustitución hacia atrás. Así, las ventajas de la descomposición LU, tales como
la evaluación de vectores múltiples del lado derecho y el cálculo de la matriz inversa, se
obtienen mediante una apropiada aplicación de este algoritmo.

6/12/06 13:54:10
Chapra-11.indd 306 6/12/06 13:54:10
Chapra-11.indd 306