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304 DESCOMPOSICIÓN LU E INVERSIÓN DE MATRICES

Escale la matriz haciendo que el máximo elemento de cada 10.17 Use técnicas iterativas de refinamiento para mejorar x 1 =
renglón sea igual a uno. 2, x 2 = –3 y x 3 = 8, que son las soluciones aproximadas de
10.10 Determine las normas Euclidiana y de renglón-suma para
2x 1 + 5x 2 + x 3 = –5
los sistemas de los problemas 10.3 y 10.4. Escale las matrices
6x 1 + 2x 2 + x 3 = 12
por medio de hacer que el elemento más grande de cada renglón
x 1 + 2x 2 + x 3 = 3
sea igual a uno.
10.11 Una matriz [A] está definida como sigue 10.18 Considere los vectores siguientes:
⎡ . 0 125 . 0 25 . 0 5 1 ⎤⎤ A = 2i − 3 j + ak
⎢ ⎥
[]A = ⎢ . 0 015625 . 0 625 . 0 25 1 ⎥ B b= i + − 4j k
⎢ . 0 00463 0..02777 . 0 16667 1⎥
⎢ ⎥ C = 3i + c + 2j k
⎣ . 0 001953 0 .015625 . 0 125 1 ⎦
El vector A es perpendicular al B y al C. También se sabe que
Con el uso de la norma renglón-suma, calcule el número de
BC⋅ = 2. Use cualquier método de los estudiados en este capí-
condición y cuántos dígitos sospechosos se generarían con esta
tulo para resolver las tres incógnitas, a, b y c.
matriz.
10.19 Considere los vectores siguientes:
10.12 a) Determine el número de condición para el sistema si-
guiente por medio de la norma renglón-suma. No normalice el A = i b + ck
a + j
sistema.
B =− i 2 + − k
j 4
⎡ 1 4 9 16 25 ⎤
2
i
⎢ ⎥ C =+ j 3 + k
⎢ 4 9 16 25 36 ⎥ donde A es un vector desconocido. Si
⎢ 9 16 25 36 49⎥
⎢ ⎥ (AB× ) (A C+ × ) = ( a +5 6 ) +i ( b −3 2 ) +j (−4cc +1)k
⎢ 16 25 36 49 64 ⎥
⎢ ⎣ 25 36 49 64 811 ⎦ ⎥ use cualquier método de los que aprendió en este capítulo para
resolver para las tres incógnitas, a, b y c.
¿Cuántos dígitos de precisión se perderían debido a la condición 10.20 Deje que la función esté definida en el intervalo [0, 2]
anómala? b) Repita el inciso a), pero escale la matriz por medio como sigue:
de hacer el elemento más grande de cada renglón igual a uno. ⎧ ax b,+ 0 ≤ x ≤1
10.13 Determine el número de condición con base en la norma fx() = ⎨ ⎩ cx d,+ 1 ≤ x ≤ 2
renglón-suma para la matriz de Hilbert normalizada de 5 × 5.
Determine las constantes a, b, c y d, de modo que la función f
¿Cuántos dígitos significativos de precisión se perderían debido
satisfaga lo siguiente:
a la condición anómala?
10.14 Además de la matriz de Hilbert, hay otras matrices que • f (0) = f (2) = 1.
son anómalas de modo inherente. Uno de esos casos es la matriz • f es continua en todo el intervalo.
de Vandermonde, que tiene la forma siguiente: • a + b = 4.
x ⎡ 2 x 1⎤ Obtenga y resuelva un sistema de ecuaciones algebraicas lineales
⎢ 1 2 1 ⎥ con una forma matricial idéntica a la ecuación (10.1).
⎢ x 2 x 2 1 ⎥ 10.21
⎣ x ⎢ 2 3 x 3 1⎥ ⎦ a) Cree una matriz de Hilbert de 3 × 3. Ésta será la matriz [A].
T
a) Determine el número de condición con base en la norma Multiplique la matriz por el vector columna {x} = [1, 1, 1] .
renglón-suma para el caso en que x 1 = 4, x 2 = 2, y x 3 = 7. La solución de [A]{x} será otro vector columna {b}. Con
b) Emplee el software de MATLAB para calcular los números el uso de cualquier paquete numérico y la eliminación de
de condición espectral y de Frobenius. Gauss, encuentre la solución de [A]{x} = {b} por medio del
10.15 Desarrolle un programa amigable para el usuario para empleo de la matriz de Hilbert y el vector {b} que calculó.
hacer la descomposición LU con base en el seudocódigo de la Compare el resultado con su vector {x} conocido. Utilice
figura 10.2. precisión suficiente al mostrar los resultados con objeto de
10.16 Realice un programa amigable para el usuario para efec- permitir detectar imprecisiones.
tuar la descomposición LU, que incluya la capacidad de evaluar b) Repita el inciso a) con el uso de una matriz de Hilbert de 7 × 7.
la matriz inversa. Fundamente el programa en las figuras 10.2 y c) Repita el inciso a) con el uso de una matriz de Hilbert de
10.5. 10 × 10.

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