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PROBLEMAS 303

Así este sistema es un conjunto de ecuaciones lineales simultáneas que puede resolver-
se para obtener los factores de corrección. Dichos factores se aplican para mejorar la
solución, como lo especifica la ecuación (10.29).
Es relativamente sencillo agregar un procedimiento de refinamiento iterativo en los
programas de computadora para métodos de eliminación. Esto es especialmente efecti-
vo para los métodos de descomposición LU descritos antes, los cuales sirven para evaluar
en forma eficiente varios vectores del lado derecho. Observe que para ser efectivos en
sistemas mal condicionados, las E en la ecuación (10.31) deben expresarse en doble
precisión.

PROBLEMAS

10.1 Utilice las reglas de la multiplicación de matrices para 10.6 Utilice la descomposición LU para determinar la matriz in-
demostrar que las ecuaciones (10.7) y (10.8) se obtienen de la versa del sistema que sigue. No use una estrategia de pivoteo, y
–1
(10.6). compruebe su resultado con la verificación de que [A][A] = [I].
10.2 a) Use la eliminación simple de Gauss para descomponer
el sistema siguiente, de acuerdo con la descripción de la sección 10x 1 + 2x 2 – x 3 = 27
10.1.2. –3x 1 – 6x 2 – 2x 3 = –61.5
x 1 + x 2 + 5x 3 = –21.5
10x 1 + 2x 2 – x 3 = 27
–3x 1 – 6x 2 + 2x 3 = –61.5 10.7 Ejecute la descomposición de Crout sobre el sistema
x 1 + x 2 – 5x 3 = –21.5
2x 1 – 6x 2 + x 3 = 12
–x 1 + 7x 2 – x 3 = –8
Después, multiplique las matrices[L] y [U] resultantes para de-
x 1 – 3x 2 + 2x 3 = 16
mostrar que se genera [A]. b) Emplee la descomposición LU para
resolver el sistema. Realice todos los pasos del cálculo. c) Tam-
Después, multiplique las matrices [L] y [U] resultantes para
bién resuelva el sistema para un vector alternativo del lado de- determinar que se produce [A].
T
recho: {B} = [12 18 –6].
10.8 El sistema de ecuaciones que sigue está diseñado para
10.3
3
determinar concentraciones (las c están en g/m ) en una serie de
a) Resuelva el sistema de ecuaciones siguiente por medio de
reactores acoplados, como función de la cantidad de masa que
la descomposición LU sin pivoteo.
entra a cada uno de ellos (los lados derechos están en g/día),
8x 1 + 4x 2 – x 3 = 11 15c 1 – 3c 2 – c 3 = 3 800
–2x 1 + 5x 2 + x 3 = 4 –3c 1 + 18c 2 – 6c 3 = 1 200
2x 1 – x 2 + 6x 3 = 7 –4c 1 – c 2 + 12c 3 = 2 350
b) Determine la matriz inversa. Compruebe sus resultados por a) Determine la matriz inversa.
–1
medio de verificar que [A][A] = [I]. b) Use la inversa para encontrar la solución.
10.4 Resuelva el sistema de ecuaciones siguiente por medio de c) Determine cuánto debe incrementarse la tasa de masa de
3
la descomposición LU con pivoteo parcial: entrada al reactor 3 para inducir un aumento de 10 g/m en
la concentración del reactor 1.
2x 1 – 6x 2 – x 3 = –38 d) ¿Cuánto se reduciría la concentración en el reactor 3 si la
–3x 1 – x 2 + 7x 3 = –34 tasa de masa de entrada a los reactores 1 y 2 se redujera en
–8x 1 + x 2 – 2x 3 = –20 500 y 250 g/día, respectivamente?
10.9 Determine ⏐A⏐⏐ e ,⏐⏐A⏐⏐ 1 y⏐⏐A⏐⏐ ∞ para
10.5 Determine los flops totales como función del número de
⎡ 8 2 –10 ⎤
ecuaciones n para las fases de a) descomposición, b) sustitución []A = ⎢ ⎥
hacia adelante, y c) sustitución hacia atrás, de la versión de la ⎢ –9 1 3 ⎥
descomposición LU de la eliminación de Gauss. ⎣ ⎢15 −1 6 ⎥ ⎦

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