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332 ESTUDIO DE CASOS: ECUACIONES ALGEBRAICAS LINEALES

para el nodo 3,
Σ F = 0 = –F – F cos 60° + F 3,h (12.7)
2
3
H
Σ F = 0 = F sen 60° + F + V 3 (12.8)
3,v
V
3
donde F es la fuerza horizontal externa aplicada sobre el nodo i (se considera que una
i,h
fuerza positiva va de izquierda a derecha) y F es la fuerza vertical externa que se apli-
i,v
ca sobre el nodo i (donde una fuerza positiva va hacia arriba). Así, en este problema, la
fuerza de 1 000 lb hacia abajo en el nodo 1 corresponde a F = –1 000 libras. En este
1,v
caso, todas las otras F y F son cero. Observe que las direcciones de las fuerzas in-
i,h
i,v
ternas y de las reacciones son desconocidas. La aplicación correcta de las leyes de Newton
requiere sólo de suposiciones consistentes respecto a la dirección. Las soluciones son
negativas si las direcciones se asumen de manera incorrecta. También observe que en
este problema, las fuerzas en todos los componentes se suponen en tensión y actúan ti-
rando de los nodos adyacentes. Una solución negativa, por lo tanto, corresponde a com-
presión. Este problema se plantea como el siguiente sistema de seis ecuaciones con seis
incógnitas:
0.866 0 –0.5 0 0 0 F 1 0
0.5 0 0.866 0 0 0 F 2 –1000
–0.866 –1 0 –1 0 0 F 3 = 0 (12.9)
–0.5 0 0 0 –1 0 H 2 0
0 1 0.5 0 0 0 V 2 0
0 0 –0.866 0 0 –1 V 3 0
Observe que, como se formuló en la ecuación (12.9), se requiere de pivoteo parcial
para evitar la división entre cero de los elementos de la diagonal. Con el uso de una es-
trategia de pivote, el sistema se resuelve mediante cualquiera de las técnicas de elimi-
nación que se analizaron en los capítulos 9 y 10. Sin embargo, como este problema es
un caso de estudio ideal, para demostrar la utilidad de la matriz inversa se utiliza la
descomposición LU para calcular
F = –500 F = 433 F = –866
1
3
2
H = 0 V = 250 V = 750
3
2
2
la matriz inversa es
0.866 0.5 0 0 0
0.25 –0.433 0 0 1 0
–1
[A] = –0.5 0.866 0 0 0 0
–1 0 –1 0 –1 0
–0.433 –0.25 0 –1 0 0
0.433 –0.75 0 0 0 –1
Ahora, observe que el vector del lado derecho representa las fuerzas horizontales y
verticales aplicadas externamente sobre cada nodo,

T
{F} = ⎣F F F F F F ⎦ (12.10)
3,h
3,v
2,v
1,v
2,h
1,h
Debido a que las fuerzas externas no tienen efecto sobre la descomposición LU, no
se necesita aplicar el método una y otra vez para estudiar el efecto de diferentes fuerzas
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