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336 ESTUDIO DE CASOS: ECUACIONES ALGEBRAICAS LINEALES

V = 153.85 V = 169.23
V = 200

FIGURA 12.10
La solución obtenida para i = 1.5385 i = 6.1538
las corrientes y voltajes
usando un método de V =0
eliminación. V = 146.15 V = 123.08

Aunque no es práctico resolverlo a mano, este sistema se resuelve de manera sencilla
con un método de eliminación. Si se procede de esta forma, la solución es
= 6.1538 i = –4.6154 i = –1.5385
i 12 52 32
i = –6.1538 i = –1.5385 i = –1.5385
65
43
54
Así, con una interpretación adecuada de los signos del resultado, las corrientes y volta-
jes en el circuito se muestran en la figura 12.10. Deben ser evidentes las ventajas de usar
algoritmos numéricos y computadoras para problemas de este tipo.

12.4 SISTEMAS MASA-RESORTE
(INGENIERÍA MECÁNICA/AERONÁUTICA)

Antecedentes. Los sistemas idealizados masa-resorte desempeñan un papel impor-
tante en la mecánica y en otros problemas de ingeniería. En la figura 12.11 se presenta
un sistema de este tipo. Después de liberar las masas, éstas son jaladas hacia abajo por
la fuerza de gravedad. Observe que el desplazamiento resultante en cada resorte de la
figura 12.11b se mide a lo largo de las coordenadas locales referidas a su posición inicial
en la figura 12.11a.
Como se mencionó en el capítulo 1, la segunda ley de Newton se emplea en conjun-
to con el equilibrio de fuerzas para desarrollar un modelo matemático del sistema. Para
cada masa, la segunda ley se expresa como
2
dx
m = F – F U (12.13)
D
dt 2
Para simplificar el análisis se supondrá que todos los resortes son idénticos y que se
comportan de acuerdo con la ley de Hooke. En la figura 12.12a se muestra un diagrama
de cuerpo libre para la primera masa. La fuerza hacia arriba es únicamente una expresión
directa de la ley de Hooke:
(12.14)
F U = kx 1
Las componentes hacia abajo consisten en las dos fuerzas del resorte junto con la acción
de la gravedad sobre la masa,
F = k(x – x ) + k(x – x ) = m g (12.15)
2
1
1
2
D
1
Observe cómo la componente de fuerza de los dos resortes es proporcional al desplaza-
miento de la segunda masa, x , corregida por el desplazamiento de la primera masa, x 1 .
2
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