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358 OPTIMIZACIÓN UNIDIMENSIONAL NO RESTRINGIDA

donde

A = 2πr 2 (PT4.14)

= 2r (PT4.15)

c = k A (PT4.16)
c
m = M t (PT4.17)
n
⎡ gm gm 2 ⎤
t = raíz z − t + 1 ( − e −(/ cm t) ) ⎥ (PT4.18)
⎢ 0 2
⎣ c c ⎦

v = gm (1 − e − cm t(/ ) ) (PT4.19)
c

Resolveremos este problema en el ejemplo 15.4 al final del capítulo 15. Por ahora re-
conozca que este problema tiene la mayoría de los elementos fundamentales de otros pro-
blemas de optimización, que usted enfrentará en la práctica de la ingeniería. Éstos son

• El problema involucrará una función objetivo que se optimizará.
• Tendrá también un número de variables de diseño. Éstas pueden ser números reales
o enteros. En nuestro ejemplo, dichas variables son r (real) y n (entero).
• El problema incluye restricciones que consideran las limitaciones bajo las cuales se
trabaja.

Plantearemos una reflexión más antes de proceder. Aunque la función objetivo y las
restricciones quizá, en forma superficial, parezcan ecuaciones simples [por ejemplo, la
ecuación (PT4.12)], de hecho, pueden ser sólo la “punta del iceberg”. Es decir, pueden
basarse en modelos y dependencias complicadas. Por ejemplo, como en este caso, llegan
a involucrar otros métodos numéricos [ecuación (PT4.18)], lo cual significa que las rela-
ciones funcionales que usted estará usando podrían representar cálculos largos y compli-
cados. Por lo que, las técnicas que permitan encontrar la solución óptima, y que al mismo
tiempo simplifiquen las evaluaciones de las funciones, serán valiosas en extremo.

PT4.2 ANTECEDENTES MATEMÁTICOS

Existen bastantes conceptos matemáticos que son la base de la optimización. Como
creemos que para usted éstos serán más relevantes en su forma contextual, se dejará el
análisis de los prerrequisitos matemáticos específicos hasta que se ocupen. Por ejemplo,
se analizarán los importantes conceptos del gradiente y el hessiano al inicio del capítulo
14, que trata sobre optimización sin restricciones multivariada. Mientras tanto, ahora nos
limitaremos al tema más general de cómo se clasifican los problemas de optimización.
Un problema de programación matemática u optimización generalmente se puede
establecer como

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