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360 OPTIMIZACIÓN UNIDIMENSIONAL NO RESTRINGIDA

Otra forma de clasificar los problemas de optimización es según su dimensionalidad.
En general se dividen en unidimensionales y multidimensionales. Como su nombre lo
indica, los primeros involucran funciones que dependen de una sola variable indepen-
diente. Como en la figura PT4.4a, la búsqueda consiste, entonces, en ascender o descen-
der picos y valles unidimensionales. Los problemas multidimensionales implican
funciones que dependen de dos o más variables independientes. En el mismo sentido, la
optimización bidimensional, de nuevo, se visualiza como una búsqueda de picos y valles
(PT4.4b). Sin embargo, justo como en un paseo campestre, no estamos limitados a ca-
minar en una sola dirección; en lugar de esto se examina la topografía para alcanzar el
objetivo en forma eficiente.
Finalmente, el proceso de encontrar un máximo o de encontrar un mínimo es, en
esencia, idéntico, ya que un mismo valor, por ejemplo x*, minimiza f(x) y maximiza
–f(x). Esta equivalencia se ilustra en forma gráfica, para una función unidimensional,
en la figura PT4.4a.

PT4.3 ORIENTACIÓN

Resulta útil alguna orientación antes de desarrollar los métodos numéricos para la op-
timización. Lo siguiente lleva la intención de dar una visión general del material en la
parte cuatro. Además, se presentan algunos objetivos para ayudarlo a enfocar sus esfuer-
zos cuando se estudie el material.

PT4.3.1 Alcance y presentación preliminar

La figura PT4.5 es una representación esquemática de la organización de la parte cuatro.
Examine esta figura con cuidado, comenzando desde arriba y después yendo en sentido
de las manecillas del reloj.
Después de la presente introducción, el capítulo 13 se dedica a la optimización
unidimensional no restringida. Se presentan métodos para determinar el mínimo o el
máximo de una función con una sola variable. Se examinan tres métodos: búsqueda de
la sección dorada, interpolación cuadrática y el método de Newton. Tales métodos
tienen también relevancia en la optimización multidimensional.
El capítulo 14 cubre dos tipos generales de métodos para resolver problemas de opti-
mización multidimensional no restringida. Los métodos directos, tales como búsquedas
aleatorias, búsquedas univariadas y búsquedas de patrones, no requieren la evaluación
de las derivadas de la función. Por otro lado, los métodos de gradiente utilizan la primera
o la segunda derivada para encontrar el óptimo. En este capítulo se introduce el gradiente
y el hessiano, que son las representaciones multidimensionales de la primera y la segunda
derivada. El método de paso ascendente/descendente se estudia después con detalle. A
esto le siguen descripciones de algunos métodos avanzados: el gradiente conjugado, el
método de Newton, el método de Marquardt y los métodos cuasi-Newton.
En el capítulo 15 se dedica a la optimización restringida. La programación lineal
se describe con detalle usando tanto la representación gráfica como el método simplex.
El análisis detallado de optimización restringida no lineal está fuera del alcance de este
texto; no obstante, se ofrece una visión general de los principales métodos. Además, se
ilustra cómo tales problemas (junto con los estudiados en los capítulos 13 y 14) se re-
suelven con bibliotecas y paquetes de software, como Excel, MATLAB e IMSL.

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