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14.2 MÉTODOS CON GRADIENTE 391

Por lo tanto, el vector gradiente es

∇f = 6i – 6j
Para encontrar el máximo, se busca en la dirección del gradiente; es decir, a lo largo de
un eje h que corre en la dirección de este vector. La función se expresa a lo largo de este
eje como

⎛ ∂ƒ ∂f ⎞
⎜
ƒ x 0 + hy , 0 + h ⎟ =ƒ 16 1 6(– + h, – h)
⎝ ∂x ∂y ⎠
+ h) –
= 2 1 6(– + h 16)( – h) + 2 1 6( − + h) – (– 1 6 2 2 16( – h) 2
donde las derivadas parciales se evalúan en x = –1 y y = 1.
Al combinar términos, se obtiene una función unidimensional g(h) que transforma
f(x, y) a lo largo del eje h,
2
g(h) = –180h + 72h – 7

Ahora que se ha obtenido una función a lo largo de la trayectoria de ascenso de
máxima inclinación, es posible explorar cómo contestar la segunda pregunta. Esto es,
¿qué tan lejos se llega a lo largo de este camino? Un procedimiento sería moverse a lo
largo de este camino hasta encontrar el máximo de la función. Identificaremos la loca-
lización de este máximo como h*. Éste es el valor del paso que maximiza g (y, por lo
tanto, ƒ) en la dirección del gradiente. Este problema es equivalente a encontrar el máxi-
mo de una función de una sola variable h. Lo cual se realiza mediante diferentes técni-
cas de búsqueda unidimensional como las analizadas en el capítulo 13. Así, se pasa de
encontrar el óptimo de una función de dos dimensiones a realizar una búsqueda unidi-
mensional a lo largo de la dirección del gradiente.
Este método se llama ascenso de máxima inclinación cuando se utiliza un tamaño
de paso arbitrario h. Si se encuentra que un valor de un solo paso h* nos lleva directa-
mente al máximo a lo largo de la dirección del gradiente, el método se llama ascenso
optimal de máxima inclinación.

EJEMPLO 14.4 Ascenso optimal de máxima inclinación

Planteamiento del problema. Maximice la siguiente función:
2
ƒ(x, y) = 2xy + 2x – x – 2y 2
usando los valores iniciales, x = –1 y y = 1.
Solución. Debido a que esta función es muy simple, se obtiene primero una solución
analítica. Para hacerlo, se evalúan las derivadas parciales
∂ƒ
+
2
= y 2 2– x = 0
∂x
∂ƒ
= x2 – 4 y = 0
∂y

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