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388 OPTIMIZACIÓN MULTIDIMENSIONAL NO RESTRINGIDA

∂ƒ = ƒ x( + x y, ) –δ 2 ƒ x y( , ) + ƒ x( – δ x y, )
2
∂x 2 δ x 2 (14.7)

∂ƒ = ƒ xy(, + y) –δ 2 ƒ xy(, ) + ƒ xy(, – δ y) (14.8)
2
∂y 2 δ y 2

∂ƒ
2
=
∂∂ xy
ƒ x( + x y,δ + y) –δ ƒ x( + x y, –δ δ y) – ƒ x( – δ x y, + y)δ + ƒ x( – δ x y, – δ y)
4 xyδδ (14.9)

donde d es un valor fraccional muy pequeño.
Observe que los métodos empleados en paquetes de software comerciales también
usan diferencias hacia adelante. Además, son usualmente más complicados que las
aproximaciones enlistadas en las ecuaciones (14.5) a la (14.9). Por ejemplo, la biblioteca
IMSL basa la perturbación en el épsilon de la máquina. Dennis y Schnabel (1996) dan
más detalles sobre este método.
Sin importar cómo se implemente la aproximación, la cuestión importante es que
se pueda tener la opción de evaluar el gradiente y/o el hessiano en forma analítica. Esto
algunas veces puede resultar una tarea ardua; pero el comportamiento del algoritmo
puede ser benéfico para que el esfuerzo valga la pena. Las derivadas de forma cerrada
serán exactas; pero lo más importante es que se reduce el número de evaluaciones de la
función. Este último detalle tiene un impacto significativo en el tiempo de ejecución.
Por otro lado, usted practicará con frecuencia la opción de calcular estas cantidades
internamente mediante procedimientos numéricos. En muchos casos, el comportamien-
to será el adecuado y se evitará el problema de numerosas derivaciones parciales. Tal
podría ser el caso de los optimizadores utilizados en ciertas hojas de cálculo y paquetes
de software matemático (por ejemplo, Excel). En dichos casos, quizá no se le dé la op-
ción de introducir un gradiente y un hessiano derivados en forma analítica. Sin embargo,
para problemas de tamaño pequeño o moderado esto no representa un gran inconveniente.

14.2.2 Método de máxima inclinación

Una estrategia obvia para subir una colina sería determinar la pendiente máxima en la
posición inicial y después comenzar a caminar en esa dirección. Pero claramente surge
otro problema casi de inmediato. A menos que usted realmente tenga suerte y empiece
sobre una cuesta que apunte directamente a la cima, tan pronto como se mueva su ca-
mino diverge en la dirección de ascenso con máxima inclinación.
Al darse cuenta de este hecho, usted podría adoptar la siguiente estrategia. Avance
una distancia corta a lo largo de la dirección del gradiente. Luego deténgase, reevalúe
el gradiente y camine otra distancia corta. Mediante la repetición de este proceso podrá
llegar a la punta de la colina.
Aunque tal estrategia parece ser superficialmente buena, no es muy práctica. En
particular, la evaluación continua del gradiente demanda mucho tiempo en términos de
cálculo. Se prefiere un método que consista en moverse por un camino fijo, a lo largo

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