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390 OPTIMIZACIÓN MULTIDIMENSIONAL NO RESTRINGIDA

y
f = 3i + 4j

h = 2
10

6
h = 1

h = 0
2

1 4 7 x

FIGURA 14.10
Relación entre una dirección arbitraria h y las coordenadas x y y.

f ∂
x = x + h (14.10)
x ∂
0
f ∂
y = y + y ∂ h (14.11)
0
donde h es la distancia a lo largo del eje h. Por ejemplo, suponga que x = 1 y y = 2 y
0
0
∇f = 3i + 4j, como se muestra en la figura 14.10. Las coordenadas de cualquier punto a
lo largo del eje h están dadas por
x = 1 + 3h (14.12)
y = 2 + 4h (14.13)

El siguiente ejemplo ilustra la forma en que se emplean tales transformaciones para
convertir una función bidimensional de x y y en una función unidimensional de h.

EJEMPLO 14.3 Desarrollo de una función 1-D a lo largo de la dirección del gradiente

Planteamiento del problema. Suponga que se tiene la siguiente función en dos di-
mensiones:
2
ƒ(x, y) = 2xy + 2x – x – 2y 2
Desarrolle una versión unidimensional de esta ecuación a lo largo de la dirección del
gradiente en el punto donde x = –1 y y = 1.

Solución. Las derivadas parciales se evalúan en (–1, 1),
∂ƒ
+
= y 2 2– x = 2 1( ) + 2 2– ( −1) = 6
2
∂x
∂ƒ
= x2 – 4 y = 2 1(– ) – 4 1( ) = 6–
∂y

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