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392 OPTIMIZACIÓN MULTIDIMENSIONAL NO RESTRINGIDA

De este par de ecuaciones se puede encontrar el valor óptimo, en x = 2 y y = 1. Las se-
gundas derivadas parciales también se determinan y evalúan en el óptimo,
∂ƒ
2
= 2 –
∂x 2
∂ƒ
2
= 4 –
∂y 2
∂ƒ ∂ƒ
2
2
= = 2
∂∂ xy ∂∂ yx
y el determinante de la matriz hessiana se calcula [ecuación (14.3)],
2
⏐H⏐ = –2(–4) – 2 = 4
2
2
Por lo tanto, debido a que ⏐H⏐ > 0 y ∂ f/∂x < 0, el valor de la función ƒ(2, 1) es un
máximo.
Ahora se usará el método del ascenso de máxima inclinación. Recuerde que al final
del ejemplo 14.3 ya se habían realizado los pasos iniciales del problema al generar
2
g(h) = –180h + 72h – 7
Ahora, ya que ésta es una simple parábola, se puede localizar, de manera directa, el
máximo (es decir, h = h*) resolviendo el problema,

g′(h*) = 0
–360h* + 72 = 0
h* = 0.2

Esto significa que si se viaja a lo largo del eje h, g(h) alcanza un valor mínimo cuando
h = h* = 0.2. Este resultado se sustituye en las ecuaciones (14.10) y (14.11) para obtener
las coordenadas (x, y) correspondientes a este punto,

x = –1 + 6(0.2) = 0.2
y = 1 – 6(0.2) = –0.2
Este paso se describe en la figura 14.11 conforme el movimiento va del punto 0 al 1.
El segundo paso se implementa tan sólo al repetir el procedimiento. Primero, las
derivadas parciales se evalúan en el nuevo punto inicial (0.2, –0.2) para obtener

∂ƒ
= 20 2(– .) + 2 2 0 2– ( .) = 1 2.
∂x
∂ƒ
= 2 02( . ) – 4 02(– . ) = 12.
∂y

Por lo tanto, el vector gradiente es

∇f = 1.2i + 1.2j

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