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14.2 MÉTODOS CON GRADIENTE 387

línea y = x, puede verse que se presenta un máximo en el mismo punto. Éste se conoce
como punto silla y, claramente, no se presentan ni un máximo ni un mínimo en ese
punto.
Ya sea que ocurra un máximo o un mínimo, esto involucra no sólo a las primeras
derivadas parciales con respecto a x y y, sino también a la segunda derivada parcial
respecto a x y y. Suponiendo que las derivadas parciales sean continuas en y cerca del
punto que se habrá de evaluar, se puede calcular la siguiente cantidad:

2
2
2
⏐⏐=Η ∂ f ∂ f – ⎛ ⎜ ∂ f ⎞ ⎟ 2 (14.3)
∂∂ ⎠
∂x 2 ∂y 2 ⎝ xy
Pueden presentarse tres casos:
2
2
• Si |H| > 0 y ∂ ƒ/∂x > 0, entonces ƒ(x, y) tiene un mínimo local.
2
2
• Si |H| > 0 y ∂ ƒ/∂x < 0, entonces ƒ(x, y) tiene un máximo local.
• Si |H| < 0, entonces ƒ(x, y) tiene un punto silla.
La cantidad |H| es igual al determinante de una matriz formada con las segundas
derivadas, 1
⎡ ∂ƒ ∂ƒ ⎤
2
2
⎢ 2 ⎥
x y
H = ⎢ x ∂ ∂∂ ⎥ (14.4)
2
2
⎢ ∂ƒ ∂ƒ ⎥
⎢ ⎣ ∂∂ y ∂ 2 ⎥ ⎦
yx
donde a esta matriz se le conoce formalmente como la hessiana de f.
Además de proporcionar un medio para discriminar si una función multidimensio-
nal ha alcanzado el óptimo, el hessiano tiene otros usos en optimización (por ejemplo,
en la forma multidimensional del método de Newton). En particular, permite búsquedas
que incluyen curvatura de segundo orden para obtener mejores resultados.
Aproximaciones por diferencias finitas. Se debe mencionar que en los casos donde
es difícil o inconveniente calcular analíticamente tanto el gradiente como el determi-
nante hessiano, éstos se pueden evaluar numéricamente. En la mayoría de los casos se
emplea el método que se presentó en la sección 6.3.3 para el método de la secante mo-
dificado. Es decir, las variables independientes se modifican ligeramente para generar
las derivadas parciales requeridas. Por ejemplo, si se adopta el procedimiento de dife-
rencias centrales, éstas se calculan así

∂ƒ ƒ x( + x y, ) –δ ƒ x( − x y, )δ
= (14.5)
∂x x δ 2

∂ƒ ƒ xy(, + y) –δ ƒ xy(, – δ y)
= (14.6)
∂y y δ 2

1 2 2
Observe que ∂ f/(∂x∂y) = ∂ f/(∂y ∂x).

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