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14.2 MÉTODOS CON GRADIENTE 395

x

y

FIGURA 14.12
Cuando el punto inicial esta cerca del punto óptimo, seguir el gradiente puede resultar
inefi ciente. Los métodos de Newton intentan la búsqueda a lo largo de una trayectoria
directa hacia el óptimo (línea continua).

la cual, se puede demostrar, converge en forma cuadrática cerca del óptimo. Este método,
de nuevo, se comporta mejor que el método del ascenso de máxima inclinación (véase la
figura 14.12). Sin embargo, observe que este método requiere tanto del cálculo de las
segundas derivadas como de la inversión matricial, en cada iteración. Por lo que el méto-
do no es muy útil en la práctica para funciones con gran número de variables. Además,
el método de Newton quizá no converja si el punto inicial no está cerca del óptimo.

Método de Marquardt. Se sabe que el método del ascenso de máxima inclinación
aumenta el valor de la función, aun si el punto inicial está lejos del óptimo. Por otro lado,
ya se describió el método de Newton, que converge con rapidez cerca del máximo. El
método de Marquardt usa el método del descenso de máxima inclinación cuando x está
lejos de x*, y el método de Newton cuando x está cerca de un óptimo. Esto se puede
lograr al modificar la diagonal del hessiano en la ecuación (14.14),
~
H = H i + a i I
i
es una constante positiva e I es la matriz identidad. Al inicio del procedimien-
donde a i
to, se supone que a es grande y
i
1
H ˜ –1 ≈ α I
i
1
la cual reduce la ecuación (14.14) al método del ascenso de máxima inclinación. Con-
forme continúan las iteraciones, a se aproxima a cero y el método se convierte en el de
i
Newton.
Así, el método de Marquardt ofrece lo mejor de los procedimientos: comienza en
forma confiable a partir de valores iniciales pobres y luego acelera en forma rápida

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