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15.1 PROGRAMACIÓN LINEAL 399

El segundo tipo general de restricción, especifica que todas las actividades deben
tener un valor positivo:
x > 0 (15.3)
i
En el presente contexto, lo anterior expresa la noción realista de que, en algunos proble-
mas, la actividad negativa es físicamente imposible (por ejemplo, no se pueden producir
bienes negativos).
Juntas, la función objetivo y las restricciones, especifican el problema de progra-
mación lineal. Éstas indican que se trata de maximizar la contribución de varias activi-
dades, bajo la restricción de que en estas actividades se utilizan cantidades finitas de
recursos. Antes de mostrar cómo se puede obtener este resultado, primero se desarro-
llará un ejemplo.

EJEMPLO 15.1 Planteamiento del problema de la PL

Planteamiento del problema. Se desarrolla el siguiente problema del área de la in-
geniería química o petrolera. Aunque, éste, es relevante para todas las áreas de la inge-
niería relacionadas con la generación de productos con recursos limitados.
Suponga que una planta procesadora de gas recibe cada semana una cantidad fija de
materia prima. Esta última se procesa para dar dos tipos de gas: calidad regular y prémium.
Estas clases de gas son de gran demanda (es decir, se tiene garantizada su venta) y dan
diferentes utilidades a la compañía. Sin embargo, su producción involucra restricciones
de tiempo y de almacenamiento. Por ejemplo, no se pueden producir las dos clases a la
vez, y las instalaciones están disponibles solamente 80 horas por semana. Además, exis-
te un límite de almacenamiento para cada uno de los productos. Todos estos factores se
enlistan abajo (observe que una tonelada métrica, o ton, es igual a 1 000 kg):

Producto
Recurso Regular Prémium Disponibilidad del recurso
3
3
3
Materia prima 7 m /ton 11 m /ton 77 m /semana
Tiempo de producción 10 hr/ton 8 hr/ton 80 hr/semana
Almacenamiento 9 ton 6 ton
Aprovechamiento 150/ton 175/ton

Desarrolle una formulación de programación lineal para maximizar las utilidades de
esta operación.
Solución. El ingeniero que opera esta planta debe decidir la cantidad a producir de
cada tipo de gas para maximizar las utilidades. Si las cantidades producidas cada sema-
na de gas regular y prémium se designan como x y x , respectivamente, la ganancia
1 2
total se calcula mediante
Ganancia total = 150x + 175x
1 2
o se escribe como una función objetivo en programación lineal:
Maximizar Z = 150x + l75x
1 2

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