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PROBLEMAS 443

x Se puede demostrar que el esfuerzo de flexión es
σ = πEI
y b Hdt
2
donde E = módulo de elasticidad e I = segundo momento del
área de la sección transversal. Con cálculo se muestra que
π
Figura P16.14 I = dt d +( 2 t )
2
Viga volada. 8
Por último, los diámetros de los tubos disponibles se encuentran
entre d 1 y d 2 , y el espesor está entre t 1 y t 2 . Desarrolle y resuel-
va este problema con la determinación de los valores de d y t que
P
minimizan el costo. Obsérvese que H = 275 cm, P = 2000 kg,
2
E = 900 000 kg/cm , d 1 = 1 cm, d 2 = 10 cm, t 1 = 0.1 cm y
t 2 = 1 cm.
16.16 El modelo Streeter-Phelps se utiliza para calcular la con-
centración de oxígeno disuelto en un río aguas abajo del punto
de descarga de un drenaje (véase la figura P16.16),
t
H
o = o – kL o e ( – kt a – e –( k d + k t ) s ) – S b ( –1 e – kt a )
d
k + k – k k
s
d s a a
d
(P. 16.16)
donde o = concentración del oxígeno disuelto [mg/L], o s = con-
a) b) centración de saturación del oxígeno [mg/L], t = tiempo de trave-
sía [d], L o = concentración de la demanda bioquímica de oxígeno
Figura P16.15 (DOB) en el punto de mezcla [mg/L], k d = razón de descomposi-
–1
–1
a) Una columna que soporta una carga de compresión P. ción de DOB [d ], k s = razón de asentamiento de DBO [d ], k a =
–1
b) La columna tiene una sección transversal en forma de tubo razón de oxigenación [d ], y S b = demanda de oxígeno sedimen-
de pared delgada. tario [mg/L/d].
Como se indica en la figura P16.16, la ecuación (P16.16)
produce un “decaimiento” de oxígeno que alcanza un nivel mí-
nimo crítico o c para cierto tiempo de travesía t c abajo del punto
Las variables de diseño son el diámetro medio del tubo d y de descarga. Este punto se denomina “crítico” porque represen-
el espesor de la pared t. El costo del tubo se calcula por medio ta la ubicación en que la biota (flora y fauna) que depende del
de la ecuación oxígeno (como los peces) estaría sujeta a la amenaza máxima.
Costo = f(t, d) = c 1 W + c 2 d
donde c 1 = 4 y c 2 = 2 son los factores de costo y W = peso del tubo, Figura P16.16
Un “decaimiento” de oxígeno disuelto debajo del punto de
W = p dt Hr descarga de un drenaje hacia un río.

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donde r = densidad del material del tubo = 0.0025 kg/cm . La
columna debe dar apoyo a la carga bajo un esfuerzo de compre-
sión sin flexionarse. Por tanto, 12 o s
Esfuerzo real (s) ≤ esfuerzo máximo de compresión 8
o
2
= s y = 550 kg/cm
(mg/L) o
Esfuerzo real ≤ esfuerzo de flexión 4
o c
El esfuerzo real está dado por 0
0 5 10 15 20
σ = P = P t t (d)
A π dt c

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