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444 ESTUDIO DE CASOS: OPTIMIZACIÓN

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Determine el tiempo de travesía y la concentración críticos, dados donde E = módulo de Young = 200 × 10 N/m , I = pr /4 (mo-
los valores siguientes: mento de inercia del área para una viga cilíndrica de radio r), y
L es la longitud de la viga. Si el volumen de la viga V no puede
–1
o s = 10 mg/L k d = 0.2 d k a = 0.8 d –1 3
exceder de 0.075 m , encuentre la altura más grande L que pue-
–1
k s = 0.06 d L o = 50 mg/L S b = 1 mg/L/d de utilizarse, así como el radio correspondiente.
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16.20 El río Splash tiene una tasa de flujo de 2 × 10 m /d, de
16.17 La distribución bidimensional de la concentración de
los cuales puede derivarse hasta el 70% hacia dos canales por los
cierto contaminante en un canal está descrita por la ecuación
que fluye a través de Splish County. Estos canales se usan para
c(x, y) = 7.7 + 0.15x + 0.22y – 0.05x 2 el transporte, irrigación y generación de energía eléctrica, y los
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–0.016y – 0.007xy últimos dos usos son fuentes de ingresos. El uso para el trans-
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porte requiere una tasa de flujo derivado mínimo de 0.3 × 10
Determine la ubicación exacta de la concentración máxima dada 3 6 3
m /d para el Canal 1 y 0.2 × 10 m /d para el Canal 2. Por razo-
la función, si se sabe que se encuentra entre los límites de –10 ≤
nes políticas se decidió que la diferencia absoluta entre las tasas
x ≤ 10 y 0 ≤ y ≤ 20. de flujo en los dos canales no excediera de 40% del flujo total de-
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16.18 El flujo Q [m /s] en un canal abierto se pronostica con la
rivado hacia los canales. El Organismo de Administración del
ecuación de Manning (recuerde la sección 8.2)
Agua de Splish County, también ha limitado los costos de man-
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Q = 1 AR S / tenimiento para el sistema de canales a no más de $1.8 × 10 por
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n c año. Los costos anuales de mantenimiento se estiman con base
en la tasa de flujo diario. Los costos por año para el Canal 1 se
donde n = coeficiente de rugosidad de Manning (número adi- estiman multiplicando $1.1 por los m /d de flujo; mientras que
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mensional que se usa para parametrizar la fricción en el canal), para el Canal 2 el factor de multiplicación es de $1.4 por m /d.
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A c = área de la sección transversal del canal (m ), S = pendiente El ingreso por la generación de energía eléctrica también se es-
del canal (adimensional, metros en vertical por metros en hori-
tima con base en la tasa de flujo diario. Para el Canal 1 ésta es
zontal), y R = radio hidráulico (m), el cual está relacionado con 3
de $4.0 por m /d, mientras que para el Canal 2 es de $3.0 por
otros parámetros más por R = A c /P, donde P = perímetro mojado 3
m /d. El ingreso anual por la irrigación también se estima con
(m). Como su nombre lo dice, el perímetro mojado es la longitud
base en la tasa de flujo diario, pero primero deben corregirse las
de los lados y fondo del canal que están bajo el agua. Por ejem-
tasas de flujo por las pérdidas de agua en los canales antes de
plo, para un canal rectangular, se define como P = B + 2H, donde
que se distribuya para irrigar. Esta pérdida es de 30% en el Canal
H = profundidad (m). Suponga que se utiliza esta fórmula para
1 y de 20% en el Canal 2. En ambos canales el ingreso es de $3.2
diseñar un canal recubierto (observe que los granjeros usan cana-
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por m /d. Determine los flujos en los canales que harían máxima
les recubiertos para minimizar las pérdidas por fugas).
la utilidad.
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a) Dados los parámetros n = 0.03, S = 0.0004, y Q = 1 m /s, 16.21 Determine las áreas de la sección transversal de una viga
determine los valores de B y H que minimizan el perímetro que dan como resultado el peso mínimo para la trabe que se es-
mojado. Observe que dicho cálculo minimizaría el costo si tudió en la sección 12.2 (véase la figura 12.4). Los esfuerzos de
los costos del recubrimiento fueran mucho mayores que los torsión (flexión) crítica y tensión máxima de los miembros
de excavación. de compresión y tensión son de 10 ksi y 20 ksi, respectivamente.
b) Vuelva a resolver el inciso a), pero incluya el costo de ex- La trabe va a construirse con acero (densidad = 3.5 lb/pie-pulg ).
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ca vación. Para hacer esto minimice la siguiente función de Observe que la longitud del miembro horizontal (2) es de 50 pies.
costo, Asimismo, recuerde que el esfuerzo en cada miembro es igual a
la fuerza dividida entre el área de la sección transversal. Plantee
C = c 1 A c + c 2 P
el problema como un problema de programación lineal. Obten-
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donde c 1 es un factor de costo para la excavación = $100/m , ga la solución en forma gráfica y con la herramienta Solver de
y c 2 es un factor de costo del recubrimiento de $50/m. Excel.
c) Analice las implicaciones de los resultados.
Ingeniería eléctrica
16.19 Una viga cilíndrica soporta una carga de compresión de
16.22 Alrededor de un conductor en forma de anillo de radio a,
P = 3 000 kN. Para impedir que la viga se flexione (doble), la
se encuentra una carga total Q distribuida uniformemente. A una
carga debe ser menor que la crítica,
distancia x del centro del anillo (véase la figura P16.22) se loca-
π 2 EI
P = liza una carga q. La fuerza que el anillo ejerce sobre la carga está
c 2
L dada por la ecuación
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