Page 471 - Chapra y Canale. Metodos Numericos para Ingenieros 5edición_Neat
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EPÍLOGO: PARTE CUATRO
Los epílogos de las otras partes de este libro contienen un análisis y un resumen tabular
de las ventajas y desventajas de los diferentes métodos, así como las fórmulas y relacio-
nes importantes. La mayoría de los métodos de esta parte son complicados y, en conse-
cuencia, no se pueden resumir en fórmulas simples y tablas. Por lo tanto, aquí nos
desviaremos un poco para ofrecer el siguiente análisis escrito de las alternativas y las
referencias adicionales.
PT4.4 ALTERNATIVAS
En el capítulo 13 se trató de la búsqueda del valor óptimo de una función con una sola
variable no restringida. El método de búsqueda de la sección dorada es un método ce-
rrado que requiere de un intervalo que contenga un solo valor óptimo conocido. Tiene
la ventaja de minimizar las evaluaciones de la función, y ser siempre convergente. La
interpolación cuadrática funciona mejor cuando se implementa como un método cerra-
do, aunque también se puede programar como un método abierto. Sin embargo, en tales
casos, puede diverger. Tanto el método de búsqueda de la sección dorada como el de
interpolación cuadrática no requieren evaluaciones de la derivada. Así, ambos son apro-
piados cuando el intervalo puede definirse fácilmente y las evaluaciones de la función
son demasiadas.
El método de Newton es un método abierto que no requiere que esté dentro de un
intervalo óptimo. Puede implementarse en una representación de forma cerrada, cuando
la primera y segunda derivadas se determinan en forma analítica. También se implemen-
ta en una forma similar el método de la secante al representar las derivadas en diferen-
cias finitas. Aunque el método de Newton converge rápidamente cerca del óptimo,
puede diverger con valores iniciales pobres. Además la convergencia depende también
de la naturaleza de la función.
En el capítulo 14 se trataron dos tipos generales de métodos para resolver problemas
de optimización no restringidos multidimensionales. Los métodos directos como el de
búsquedas aleatorias y el de búsquedas univariadas no requieren el cálculo de las deri-
vadas de la función y con frecuencia son ineficientes. Sin embargo, proporcionan también
una herramienta para encontrar el óptimo global más que el local. Los métodos de bús-
queda con un patrón como el método de Powell llegan a ser muy eficientes y tampoco
requieren del cálculo de la derivada.
Los métodos con gradiente usan la primera y, algunas veces, la segunda derivadas
para encontrar el óptimo. El método del mayor ascenso/descenso ofrece un procedimien-
to confiable pero en ocasiones lento. Por el contrario, el método de Newton converge
con rapidez cuando se está en la vecindad de una raíz; pero algunas veces sufre de di-
vergencia. El método de Marquardt utiliza el método de mayor descenso en la ubicación
inicial, muy lejos del óptimo, y después cambia al método de Newton cerca del óptimo,
en un intento por aprovechar las fortalezas de cada método.
El método de Newton puede ser costoso computacionalmente ya que requiere calcu-
lar tanto del vector gradiente como de la matriz hessiana. Los métodos cuasi-Newton
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