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17.3 REGRESIÓN LINEAL MÚLTIPLE 487

y

x 1

FIGURA 17.14
Descripción gráfi ca de una
regresión lineal múltiple
donde y es una función x 2
lineal de x 1 y x 2 .

Como en los casos anteriores, los “mejores” valores para los coeficientes se deter-
minan al realizar la suma de los cuadrados de los residuos,
r ∑
S = n ( y − a − a x − a x ) (17.21)
2
i
0
i 2
2
1
i 1
i=1
y derivando con respecto a cada uno de los coeficientes desconocidos,
∂S
r =−2 ∑ y ( − a − a x − a x )
∂a i 0 1 i 1 2 i 2
0
∂S
r =−2 ∑ xy ( − a − a x − a x )
∂a i 1 i 0 1 i 1 2 i 2
1
∂S
r =−2 ∑ x ( y − a − a x − a x )
∂a i 2 i 0 1 i 1 2 i 2
2
Los coeficientes que dan la suma mínima de los cuadrados de los residuos se obtienen
al igualar a cero las derivadas parciales y expresando el resultado en forma matricial:
⎡ n ∑ x i 1 ∑ x 2 i ⎤ ⎧ 0 ⎧ ∑ y ⎫
a ⎫
i
⎢ 2 ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
a ⎬ = ∑
⎥
⎢ ∑ x i 1 ∑ x i 1 ∑ x x 2 i ⎨ 1 ⎨ xy ⎬ (17.22)
1
ii
i 1
⎪ ⎪
⎢ ⎣ ∑ x i 2 ∑ x x i 2 ∑ x 2 2 i ⎦ ⎩ ⎭ ⎪ ∑ xy ⎪
⎥
⎩
ii ⎭
a
2
2
i 1
EJEMPLO 17.6 Regresión lineal múltiple
Planteamiento del problema. Los siguientes datos se calcularon con la ecuación y =
5 + 4x – 3x :
1
2
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