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17.2 REGRESIÓN POLINOMIAL 483

Al seguir el procedimiento de la sección anterior, obtenemos la derivada de la ecuación
(17.18) con respecto a cada uno de los coeficientes desconocidos del polinomio,

∂S
2
r =−2 ∑ y ( − a − a x − a x )
∂a i 0 1 i 2 i
0
∂S
2
r =−2 ∑ xy ( − a − a x − a x )
∂a i i 0 1 i 2 i
1
∂S
2
2
r =−2 ∑ xy ( − a − a x − a x )
∂a i i 0 1 i 2 i
2
Estas ecuaciones se igualan a cero y se reordenan para desarrollar el siguiente conjunto
de ecuaciones normales:
0 (∑
2 ∑
i) (∑
()na + x a + x i ) a = y i
2
1
i) (∑
2 ∑
(∑ xa + x i ) (∑ x i) a = x y (17.19)
a +
2
3
0
i i
1
2 ∑
(∑ x i ) (∑ x i) (∑ x i ) a = x y i
a +
a +
3
2
2
4
1
i
0
donde todas las sumatorias van desde i = 1 hasta n. Observe que las tres ecuaciones
anteriores son lineales y tienen tres incógnitas: a , a y a . Los coeficientes de las in-
2
0
1
cógnitas se evalúan de manera directa, a partir de los datos observados.
En este caso, observamos que el problema de determinar un polinomio de segundo
grado por mínimos cuadrados es equivalente a resolver un sistema de tres ecuacio-
nes lineales simultáneas. En la parte tres se estudiaron las técnicas para resolver tales
ecuaciones.
El caso bidimensional se extiende con facilidad a un polinomio de m-ésimo grado
como sigue
m
2
y = a + a x + a x + · · · + a x + e
m
1
0
2
El análisis anterior se puede extender fácilmente a este caso más general. Así, se reco-
noce que la determinación de los coeficientes de un polinomio de m-ésimo grado es
equivalente a resolver un sistema de m + 1 ecuaciones lineales simultáneas. En este caso,
el error estándar se formula como sigue:
S
r
s yx/ = n (− m +1 ) (17.20)
Esta cantidad se dividide entre n – (m + 1), ya que (m + 1) coeficientes obtenidos de los
datos, a , a ,…, a , se utilizaron para calcular S ; hemos perdido m + 1 grados de liber-
r
m
1
0
tad. Además del error estándar, también se calcula un coeficiente de determinación para
la regresión polinomial con la ecuación (17.10).
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