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482 REGRESIÓN POR MÍNIMOS CUADRADOS

Así, la intersección con el eje de las ordenadas es log a igual a –0.300 y, por lo tanto,
2
al tomar el antilogaritmo, a = 10 –0.3 = 0.5. La pendiente es b = 1.75. En consecuencia,
2
2
la ecuación de potencias es
y = 0.5x 1.75
Esta curva, como se grafica en la figura 17.10a, indica un buen ajuste.

17.1.6 Comentarios generales sobre la regresión lineal

Antes de plantear la regresión curvilínea y lineal múltiple, debemos enfatizar la natura-
leza introductoria del material anterior sobre regresión lineal. Nos hemos concentrado en
la obtención y el uso práctico de ecuaciones para ajustarse a datos. Deberá estar cons-
ciente del hecho de que hay aspectos teóricos de regresión que son de importancia prác-
tica, pero que van más allá del alcance de este libro. Por ejemplo, algunas suposiciones
estadísticas, inherentes a los procedimientos lineales por mínimos cuadrados, son
1. Cada x tiene un valor fijo; no es aleatorio y se conoce sin error.
2. Los valores de y son variables aleatorias independientes y todas tienen la misma
varianza.
3. Los valores de y para una x dada deben estar distribuidos normalmente.
Tales suposiciones son relevantes para la obtención adecuada y el uso de la regresión.
Por ejemplo, la primera suposición significa que 1. los valores x deben estar libres de
errores, y 2. la regresión de y contra x no es la misma que la de x contra y (vea el proble-
ma 17.4 al final del capítulo). Usted debe consultar otras referencias tales como Draper
y Smith (1981) para apreciar los aspectos y detalles de la regresión que están más allá
del alcance de este libro.

17.2 REGRESIÓN POLINOMIAL

En la sección 17.1 se desarrolló un procedimiento para obtener la ecuación de una línea
recta por medio del criterio de mínimos cuadrados. En la ingeniería, aunque algunos
datos exhiben un patrón marcado, como el que se advierte en la figura 17.8, son pobre-
mente representados por una línea recta, entonces, una curva podrá ser más adecuada
para ajustarse a los datos. Como se analizó en la sección anterior, un método para lograr
este objetivo es utilizar transformaciones. Otra alternativa es ajustar polinomios a los
datos mediante regresión polinomial.
El procedimiento de mínimos cuadrados se puede extender fácilmente al ajuste de
datos con un polinomio de grado superior. Por ejemplo, suponga que ajustamos un po-
linomio de segundo grado o cuadrático:
2
y = a + a 1 x + a 2 x + e
0
En este caso, la suma de los cuadrados de los residuos es [compare con la ecuación (17.3)]
r ∑
S = n ( y − a − a x − a x ) (17.18)
22
i
2
i
i
0
1
i=1
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