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490 REGRESIÓN POR MÍNIMOS CUADRADOS

17.4.1 Formulación general de una matriz para mínimos
cuadrados lineales
En las páginas anteriores presentamos tres tipos de regresión: lineal simple, polinomial
y lineal múltiple. De hecho, las tres pertenecen al siguiente modelo lineal general de
mínimos cuadrados:

y = a z + a z + a z + · · · + a z + e (17.23)
2 2
1 1
0 0
m m
donde z , z , … , z son m + 1 funciones diferentes. Se observa con facilidad cómo la
1
0
m
regresión lineal simple y múltiple se encuentran dentro de este modelo; es decir, z = 1,
0
z = x , z = x , …, z = x . Además, la regresión polinomial se incluye también si las z
1
2
m
m
2
1
m
2
0
son monomios simples como z = x = 1, z = x, z = x ,…, z = x .
m
0
1
2
Observe que la terminología “lineal” se refiere sólo a la dependencia del modelo
sobre sus parámetros (es decir, las a). Como en el caso de la regresión polinomial, las
mismas funciones llegan a ser altamente no lineales. Por ejemplo, las z pueden ser se-
noidales, como en
y = a + a cos (wt) + a sen (wt)
2
1
0
Esta forma es la base del análisis de Fourier que se describe en el capítulo 19.
Por otro lado, un modelo de apariencia simple como
f(x) = a (1 – e –a1x )
0
es no lineal porque no es posible llevarlo a la forma de la ecuación (17.23). Regresaremos
a tales modelos al final de este capítulo.
Mientras tanto, la ecuación (17.23) se expresa en notación matricial como
{Y} = [Z]{A} + {E} (17.24)
donde [Z] es una matriz de los valores calculados de las funciones z en los valores me-
didos de las variables independientes,
z z ⎤
z ⎡ 01 11 m1
⎢ ⎥
⎢ z 02 z 12 z m2 ⎥
⎢ ⋅ ⋅ ⋅ ⎥
[]Z = ⎢ ⎥
⎢ ⋅ ⋅ ⋅ ⎥
⎢ ⋅ ⋅ ⋅ ⎥
⎢ ⎥
⎣ z ⎢ 0 n z 1 n z ⎥
mn ⎦
donde m es el número de variables en el modelo y n es el número de datos. Como n > m
+ 1, usted reconocerá que, la mayoría de las veces, [Z] no es una matriz cuadrada.
El vector columna {Y} contiene los valores observados de la variable dependiente
{Y} = ⎣ y y · · · y ⎦
T
2
1
n

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