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17.4 MÍNIMOS CUADRADOS LINEALES EN GENERAL 493

Además de dar una solución para los coeficientes de regresión, la formulación ma-
tricial de la ecuación (17.26) proporciona estimaciones de sus estadísticos. Es posible
demostrar (Draper y Smith, 1981) que los términos en la diagonal y fuera de la diagonal
–1
1
T
de la matriz [[Z] [Z]] dan, respectivamente, las varianzas y las covarianzas de las a.
T
–1
–1
Si los elementos de la diagonal de [[Z] [Z]] se designa por z i,i , entonces
–1 2
var(a ) = z i,i s y/x (17.27)
i–1
y
–1 2
j–1
i–1
cov(a , a ) = z i,j s y/x (17.28)
Dichos estadísticos poseen varias aplicaciones importantes. Para nuestros actuales
propósitos, ilustraremos cómo se utilizan para desarrollar intervalos de confianza para
la intersección con el eje y y la pendiente.
Con un procedimiento similar al examinado en la sección PT5.2.3, se demuestra
que los límites inferior y superior para la intersección con el eje y se pueden encontrar
(véase Milton y Arnold, 1995, para más detalles) de la siguiente manera:

L = a – t α/2,n–2 s(a ) U = a + t α/2,n–2 s(a ) (17.29)
0
0
0
0
donde s(a ) = el error estándar del coeficiente a = var(a ). De manera similar, los lí-
j
j
j
mites inferior y superior para la pendiente se calculan:
L = a – t α/2,n–2 s(a ) U = a + t α/2,n–2 s(a ) (17.30)
1
1
1
1
El ejemplo 17.17 ilustra cómo se emplean esos intervalos para realizar inferencias cuan-
titativas respecto a la regresión lineal.
EJEMPLO 17.17 Intervalos de confi anza para la regresión lineal
Planteamiento del problema. En el ejemplo 17.3 utilizamos la regresión para desa-
rrollar la siguiente relación entre mediciones y predicciones del modelo:
y = –0.859 + 1.032x
donde y = las predicciones del modelo y x = las mediciones. Concluimos que había una
buena concordancia entre las dos, puesto que la intersección con el eje y era aproxima-
damente igual a 0, y la pendiente aproximadamente igual a 1. Vuelva a calcular la re-
gresión, pero ahora use el método matricial para estimar los errores estándar de los
parámetros. Después emplee tales errores para desarrollar los intervalos de confianza y
úselos para realizar un planteamiento probabilístico respecto a la bondad del ajuste.

Solución. Los datos se escriben en forma matricial para una regresión lineal simple
de la siguiente manera:

1 La covarianza es un estadístico que mide la dependencia de una variable respecto de otra. Así, cov(x, y) indica
la dependencia de x y y. Por ejemplo, cov(x, y) = 0 indicaría que x y y son totalmente independientes.

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