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17.5 REGRESIÓN NO LINEAL 495

Observe que los valores deseados (0 para la intersección, y 1 para la pendiente) caen
dentro de los intervalos. Considerando este análisis podremos formular las siguientes
declaraciones sobre la pendiente: tenemos fundamentos sólidos para creer que la pen-
diente de la línea de regresión real está dentro del intervalo de 0.991355 a 1.071828.
Debido a que 1 está dentro de este intervalo, también tenemos fundamentos sólidos para
creer que el resultado apoya la concordancia entre las mediciones y el modelo. Como
cero está dentro del intervalo de la intersección, se puede hacer una declaración similar
respecto a la intersección.

Lo anterior constituye una breve introducción al amplio tema de la inferencia esta-
dística y de su relación con la regresión. Hay muchos más temas de interés que están
fuera del alcance de este libro. Nuestra principal intención es demostrar el poder del
enfoque matricial para los mínimos cuadrados lineales en general. Usted deberá consul-
tar algunos de los excelentes libros sobre el tema (por ejemplo, Draper y Smith, 1981)
para obtener mayor información. Además, habrá que observar que los paquetes y las
bibliotecas de software pueden generar ajustes de regresión por mínimos cuadrados,
junto con información relevante para la estadística inferencial. Exploraremos algunas
de estas capacidades cuando describamos dichos paquetes al final del capítulo 19.

17.5 REGRESIÓN NO LINEAL

Hay muchos casos en la ingeniería donde los modelos no lineales deben ajustarse a
datos. En el presente contexto, tales modelos se definen como aquellos que tienen de-
pendencia no lineal de sus parámetros. Por ejemplo,
f(x) = a (1 – e –a 1 x ) + e (17.31)
0
Esta ecuación no puede ser manipulada para ser llevada a la forma general de la ecuación
(17.23).
Como en el caso de los mínimos cuadrados lineales, la regresión no lineal se basa
en la determinación de los valores de los parámetros que minimizan la suma de los
cuadrados de los residuos. Sin embargo, en el caso no lineal, la solución debe realizarse
en una forma iterativa.
El método de Gauss-Newton es un algoritmo para minimizar la suma de los cua-
drados de los residuos entre los datos y las ecuaciones no lineales. El concepto clave
detrás de esta técnica es que se utiliza una expansión en serie de Taylor para expresar la
ecuación no lineal original en una forma lineal aproximada. Entonces, es posible aplicar
la teoría de mínimos cuadrados para obtener nuevas estimaciones de los parámetros que
se mueven en la dirección que minimiza el residuo.
Para ilustrar cómo se logra esto, primero se expresa de manera general la relación
entre la ecuación no lineal y los datos, de la manera siguiente:

y = f(x ; a , a , … , a ) + e i
i
m
1
0
i
donde y = un valor medido de la variable dependiente, f(x ; a , a , … , a ) = la ecuación
i
0
i
m
1
que es una función de la variable independiente x y una función no lineal de los pará-
i
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