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496 REGRESIÓN POR MÍNIMOS CUADRADOS

metros a , a , … , a , y e = un error aleatorio. Por conveniencia, este modelo se expre-
i
0
m
1
sa en forma abreviada al omitir los parámetros,
y = f(x ) + e i (17.32)
i
i
El modelo no lineal puede expandirse en una serie de Taylor alrededor de los valo-
res de los parámetros y cortarse después de las primeras derivadas. Por ejemplo, para
un caso con dos parámetros,
∂ fx() ∂ fx ()
fx() = fx() + a ∂ ij ∆ a + a ∂ ij ∆ a (17.33)
ij+1
1
0
ij
0 1
donde j = el valor inicial, j + 1 = la predicción, ∆a = a 0,j+1 – a , y ∆a = a 1,j+1 – a . De
1
0
1,j
0,j
esta forma, hemos linealizado el modelo original con respecto a los parámetros. La
ecuación (17.33) se sustituye en la ecuación (17.32) para dar
∂ fx() ∂ fx()
y − f x() = ij ∆ a + ij ∆ a + e
a ∂
i
i
0
1
i j
0 a ∂ 1
o en forma matricial [compárela con la ecuación (17.24)],
{D} = [Z ]{∆A} + {E} (17.34)
j
donde [Z ] es la matriz de las derivadas parciales de la función evaluadas en el valor
j
inicial j,
⎡ 1 / f ∂∂ a 0 1 / f ∂∂ ⎤
a
1
⎢ / f ∂∂ / f ∂∂ ⎥
⎢ 2 a 0 2 a 1 ⎥
⎢ ⋅ ⋅ ⎥
[Z = ⎢ ⎥
]
j
⎢ ⋅ ⋅ ⎥
⎢ ⋅ ⋅ ⎥
⎢ ⎥
⎣ ⎢ n / f ∂∂ a 0 n / f ∂∂ ⎥ ⎦
a
1
donde n = el número de datos y ∂f /∂a = la derivada parcial de la función con respecto
k
i
al k-ésimo parámetro evaluado en el i-ésimo dato. El vector {D} contiene las diferencias
entre las mediciones y los valores de la función,
y − f ()x ⎫
⎧ 1 1
⎪ y − ⎪
⎪ 2 f ()x 2 ⎪
⎪ ⋅ ⎪
{} = ⎨ ⎬
D
⎪ ⋅ ⎪
⎪ ⋅ ⎪
⎪ ⎪
⎩ y − f ()x n ⎭
n

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