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598 EPÍLOGO: PARTE CINCO

La regresión polinomial y la lineal múltiple (observe que la regresión lineal simple
es una particularidad de ambas) pertenecen a una clase más general de modelos de
mínimos cuadrados lineales. Se clasifican de esta manera porque son lineales respecto
a sus coeficientes. Por lo común estos modelos se implementan a través de la solución
de sistemas algebraicos lineales, que algunas veces están mal condicionados. Sin em-
bargo, en muchos problemas de ingeniería (se tienen ajustes de grado inferior), afortu-
nadamente, no ocurre. En los casos donde esto represente un problema se cuenta con
algunos procedimientos alternativos. Por ejemplo, existe una técnica llamada de poli-
nomios ortogonales, para realizar la regresión polinomial (véase la sección PT5.6).
Las ecuaciones que no son lineales respecto a sus coeficientes se denominan no
lineales. Hay técnicas de regresión especiales para ajustar tales ecuaciones. Éstos son
métodos aproximados que empiezan con un parámetro inicial estimado y después, ite-
rativamente, llegan a valores que minimizan la suma de los cuadrados.
La interpolación polinomial está diseñada para ajustar un único polinomio de n-ési-
mo grado que pasa exactamente a través de los n + 1 puntos que se tienen como datos. Este
polinomio se presenta en dos formas alternativas. La interpolación polinomial de Newton
en diferencias divididas es ideal en aquellos casos donde se conoce el grado del polinomio.
El polinomio de Newton resulta apropiado en tales situaciones, ya que se programa en
forma sencilla en un formato que sirve para comparar resultados con diferentes grados.
Además, un error estimado simplemente se puede incorporar en la técnica. Así, usted
puede comparar y elegir de los resultados usando varios polinomios de diferente grado.
La interpolación de polinomios de Lagrange es una forma alternativa que es con-
veniente cuando el grado se conoce de antemano. En dichas situaciones, la versión de
Lagrange es más fácil de programar y no requiere del cálculo ni el almacenamiento
de diferencias divididas finitas.
Otro procedimiento para ajustar curvas es la interpolación mediante trazadores. Esta
técnica ajusta un polinomio de grado inferior para cada intervalo entre los puntos dados.
El ajuste se suaviza igualando las derivadas de polinomios adyacentes al mismo valor en sus
puntos de unión. Los trazadores cúbicos son el modelo más común. Los trazadores son de
gran utilidad cuando se ajustan a datos que por lo general son suaves; pero que exhiben
áreas locales de cambio abrupto. Tales datos tienden a inducir oscilaciones desordenadas
cuando se interpolan polinomios de grado superior. Los trazadores cúbicos son menos
propensos a esas oscilaciones debido a que están limitados a variaciones de tercer grado.
El último método que se estudia en esta parte del libro es la aproximación de Fourier,
la cual trata con el uso de funciones trigonométricas para aproximar diversas formas de
ondas. En contraste con las otras técnicas, el mayor énfasis de este procedimiento no es
ajustar una curva a los datos; sino que el ajuste de la curva se emplee para analizar las
frecuencias características de una señal. En particular, la transformada rápida de Fourier
permite transformar eficientemente una función del dominio del tiempo al de la frecuen-
cia, para entender su estructura armónica.

PT5.5 RELACIONES Y FÓRMULAS IMPORTANTES

La tabla PT5.5 resume información importante que se presentó en la parte cinco. Esta
tabla se puede consultar para tener un rápido acceso a las relaciones y las fórmulas
importantes.

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