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600 EPÍLOGO: PARTE CINCO

nomios ortogonales puede disminuir esos efectos. Deberá observarse que este procedi-
miento no da una ecuación de mejor ajuste; sino más bien predicciones individuales para
valores dados de la variable independiente. Se recomienda consultar a Shampine y Allen
(1973) y Guest (1961) para mayor información acerca de los polinomios ortogonales.
Mientras que la técnica de polinomios ortogonales es útil para desarrollar una re-
gresión polinomial, no representa una solución al problema de inestabilidad para el
modelo de regresión lineal general [ecuación (17.23)]. Hay un procedimiento alternativo
basado en la descomposición de valores simples, llamado método SVD, para dicho
propósito. Información sobre este procedimiento se encuentra en Forsythe y colabora-
dores (1977), Lawson y Hanson (1974), y Press y colaboradores (1992).
Además del algoritmo de Gauss-Newton, existen varios métodos de optimización
que se utilizan de manera directa con la finalidad de desarrollar un ajuste por mínimos
cuadrados para una ecuación no lineal. Dichas técnicas de regresión no lineal incluyen
los métodos de máximo descenso y de Marquardt (recuerde la parte cuatro). Para mayor
información sobre regresión consulte a Draper y Smith (1981).
Todos los métodos de la parte cinco se estudiaron en términos de ajuste de curvas
a datos. Además, quizá usted desee ajustar una curva a otra. El motivo principal de tal
aproximación funcional es la representación de una función complicada mediante una
versión más simple que sea más fácil de manipular. Una manera de hacerlo consiste en
usar la función complicada para generar una tabla de valores. Después, las técnicas
analizadas en esta parte del libro pueden usarse para ajustar polinomios a estos valores
discretos.
Un procedimiento alternativo se basa en el principio minimax (véase la figura 17.2c).
Este principio especifica que los coeficientes de la aproximación polinomial deben
elegirse de tal forma que la discrepancia máxima sea lo más pequeña posible. Así, aun-
que la aproximación no sea tan buena como la que ofrece la serie de Taylor en el punto
base, por lo general es mejor en todo el intervalo del ajuste. La economización de Che-
byshev es un ejemplo de un procedimiento para una aproximación funcional basada en
tal estrategia (Ralston y Rabinowitz, 1978; Gerald y Wheatley, 1989; y Carnahan, Luther
y Wilkes, 1969).
Una alternativa importante en el ajuste de curvas es la combinación de trazadores
con una regresión por mínimos cuadrados. Así, se genera un trazador cúbico de tal
forma que no intercepte todos los puntos, pero que minimice la suma de los cuadrados
de los residuos entre los datos y los trazadores. El procedimiento usa los denominados
trazadores B como funciones base; se nombran así debido a su empleo como función
base, y también por su forma de campana (bell) característica. Tales curvas son con-
sistentes con un procedimiento de trazadores, puesto que la función y su primera y se-
gunda derivada serán continuas en los extremos. De esta forma se asegura la continuidad
de f(x) y sus derivadas en los nodos. Wold (1974), Prenter (1974), y Cheney y Kincaid
(1994) ofrecen un análisis de tal procedimiento.
En resumen, con lo anterior se intenta proporcionarle alternativas para la exploración
más profunda del tema. Asimismo, todas las referencias anteriores proporcionan des-
cripciones de las técnicas básicas tratadas en la parte cinco. Le recomendamos consultar
esas fuentes alternas para ampliar su comprensión de los métodos numéricos para el
ajuste de curvas.

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