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604 DIFERENCIACIÓN E INTEGRACIÓN NUMÉRICAS

f (x)

a b x

FIGURA PT6.2
Representación gráfi ca de la integral de f(x) entre los límites x = a y x = b. La integral es
equivalente al área bajo la curva.

donde dy/dx [que también se denota como y′ o ƒ′(x )] es la primera derivada de y con
i
respecto a x evaluada en x . Como se observa en la descripción visual de la figura PT6.1c,
i
la derivada evaluada es la pendiente de la recta tangente a la curva en x .
i
En cálculo, el proceso inverso de la diferenciación es la integración. De acuerdo con
la definición del diccionario, integrar significa “juntar partes en un todo; unir; indicar
la cantidad total ...”. Matemáticamente, la integración se representa por
I = ∫ b f x dx() (PT6.2)
a
que representa la integral de la función f(x) con respecto a la variable independiente x,
evaluada entre los límites x = a y x = b. La función f(x) en la ecuación (PT6.2) se llama
integrando.
Como lo sugiere la definición del diccionario, el “significado” de la ecuación (PT6.2)
es el valor total, o sumatoria, de f(x) dx sobre el intervalo desde x = a hasta x = b. De
hecho, el símbolo ∫ es en realidad una letra S estilizada, antigua, que intenta representar
la estrecha relación entre integración y suma.
La figura PT6.2 representa una manifestación gráfica del concepto. Para funciones
que están por encima del eje x, la integral, expresada por la ecuación (PT6.2) correspon-
de al área bajo la curva de f(x) entre x = a y b. 1

1 Deberá observarse que el proceso representado por la ecuación (PT6.2) y la fi gura PT6.2 se conoce como
integración defi nida. Hay otro tipo que se denomina integración indefi nida, en la cual no se especifi can los
límites a y b. Como se analizará en la parte siete, la integración indefi nida se ocupa de la determinación de
una función, de la que se da su derivada.

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