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614 DIFERENCIACIÓN E INTEGRACIÓN NUMÉRICAS

TABLA PT6.1 Algunas derivadas de uso común.
—– sen x = cos x —– cot x = –csc x
d
d
2
dx dx
d
d
—– cos x = –sen x —– sec x = sec x tan x
dx dx
d
—– tan x = sec x —– csc x = –csc x cot x
d
2
dx dx
d
—– ln x = —– —– log x = —–—–
1
d
1
dx x dx a x In a
d
—– e = e x —– a = a ln a
d
x
x
x
dx dx
Un ejemplo de una integral definida es
I = ∫ 0 . 08 (.0 2 + 25 x –200 x + 675 x – 900 x + 400 x ) dx (PT6.8)
4
5
3
2
En este caso, la función es un simple polinomio que puede integrarse de manera analí-
tica al calcular cada término de acuerdo con la regla
b
n+1
b
∫ xdx = x (PT6.9)
n
a n +1
a
donde n no puede ser igual a –1. Si se aplica esta regla a cada término de la ecuación
(PT6.8) se obtiene
200 3 4 5 400 6 08 .
2
I = 0 2. x +12 5. x – x +168 75. x – 180 x + x (PT6.10)
3 6 0

la cual se evalúa de acuerdo con la ecuación (PT6.7) como I = 1.6405333. Este valor es
igual al área bajo el polinomio original [ecuación (PT6.8)] entre x = 0 y 0.8.
La integración anterior depende del conocimiento de la regla expresada por la ecua-
ción (PT6.9). Otras funciones siguen diferentes reglas. Estas “reglas” son sólo ejemplos
de antidiferenciación; es decir, se busca encontrar F(x) de tal forma que F′(x) = f(x). En
consecuencia, la integración analítica depende del conocimiento previo de la respuesta.
Tal conocimiento se adquiere con entrenamiento y experiencia. Muchas de las reglas se
resumen en manuales y tablas de integrales. Enlistamos algunas de las más comunes en
la tabla PT6.2. Sin embargo, muchas funciones de importancia práctica son demasiado
complicadas para estar contenidas en dicha tabla. Una razón por la que las técnicas en
esta parte del libro son tan valiosas es porque ofrecen un medio para evaluar relaciones
como la ecuación (PT6.8) sin conocimiento de las reglas.

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